Re: [obm-l] Duvidas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

--- matduvidas48 <matduvidas48@bol.com.br> escreveu:

> 01.Prove que para todo x
> 
>  sen^6 x+cos^6 x - 2sen^4 x- cos^4 x + sen^2 x =0

Vai na porrada ou voce quer uma resposta inteligente? 

Talvez de parea transformar cada cos^2 T em (1-sen^2
T) e abrir os polinomios, ou usar o fato de que
sen^2x+cos^2x=1, e elvar isto ao cubo...

> 
> (essa questão é da coleção professor de
> matemática-SBM)
> 
> 
> 
> 
> 
> 02.Provar que  555333 + 333555 é divisível por  57
> 
>  ( como resolvo essa queatão sem usar congruencias)


Favor nao usar HTML da próxima....
Mas enfim, qualquer solucao que lhe apresentarem vai
usar, mesmpo que na surdina, nocoes de congruencia em
Z_97.

Por exemplo, isto e equivalente a provar que

555^333 + 333^555 e multiplo de 3*19

o que equivale a provar que 

555^333 + 333^555 e multiplo de 3 
e
555^333 + 333^555 e multiplo de 19

A parte 1 é quase óbvia: se 3 divide K entao 3 divide
k^N com N natural

A segunda da mais trabalho...

555=19k+4, 333=19l+10

555^333=(19k+4)^333=...(tô na priga de abrir o binomio
de Newton, mas so o ultimo termo e importante)...

555^333=19K+4^333,
 
e analogamente,

333^555=19L+10^555.

BAsta ver se tem como 4^333+10^555 ser multiplo de 19

Agora voce pode demonstrar, na porrada, que x^18-1 e
multiplo de 19 sempre que x nao for multiplo de 19
(teorema de Euler-Fermat...).

Tambem da para demonstrar que x^(18k+l)-x^l e multiplo
de 19 sempre que x nao o for.

Assim, esta coisinha fofa equivale a provar que 

4^333+10^555=2^555*5^555+2^666=2^555(5^555+2^111) e
multiplo de 19.
Como 2^555 nao e multiplo de 19, falta provar a parte
que sobrou: 
(5^555+2^111)=(5^(18X+15)+(2^(18Y+3))) e multiplo de
19, ou

5^15+2^3 e multiplo de 19. E este da pra fazer na
porrada mesmo!

Espero nao ter errado as contas...hehe!

> 



> 
> Agradeço desde de já.
> 
> 
> Ary Queiroz
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