RES: [obm-l] continuidade

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Se a for ponto de acumulacao do dominio da funcao (que, alias, eh a situacao em que realmente eh importante analisar continuidade) eh equivalente sim. Eh facil mostrar isso. Eh de fato muito comum definir continuidade desta forma, embora seja uma definicao um pouco menos geral do que a que eu dei.

 

Dah para concluir que, para todo x<>0,  f eh continua em x Para mostrarmos isto, basta considera o caso em que x>0 (porque?).   Seja a>0. Para todos x1>=a  e x2>=a temos que |f(x1) - f(x2| = |1/x1 - 1/x2| = (|x1 - x2|) /(x1*x2). Como x1, x2 >=a, temos que  |f(x1) - f(x2|  <= (|x1 - x2|)/(a^2). Isso mostra que f eh UNIFORMEMENTE CONTINUA em [a, oo) para todo a>0. Na realidade, f eh Lipschitz com cosntante 1/(a^2). Vc conhece estes conceitos?   Assim, temos que f eh continua em [a, oo) para todo a>0. Dado que todo x>0 pertence a [a, oo) para 0 <a < x, segue-se que f eh continua em (o, oo) (embora nao uniformemente continua neste conjunto).

 

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Jose Augusto
Enviada em: quarta-feira, 14 de setembro de 2005 01:21
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] continuidade

  Artur,  antes de tudo obrigado. 

  É comum encontrarmos em livros de calculo a seguinte definição:

 

Uma função f eh continua em a se:

i) f(a) existe,

II) lim f(x) quando x tende a 'a' existe,

iii) f(a) = lim f(x) quando x tende a 'a'.

 

essa definicao seria equivalente a utilizada por vc ? Daria para concluir a continuidade de f(x) = 1/x ?

 Obrigado novamente,

               J ATt.