Re: [obm-l] Princípio da Indução Finita

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

a) Mostre pelo PIF que n!^2 é maior ou igual a n^n.

Temos que (n!)^2 = 1 *2 *...n * n * (n-1) * 1 =
Produto(1 a n) k(n-k+1). Pelo trinomio o 2o grau,
temos, para todo k=1,2,....n, que k*(n-k+1) >=
((n+1)^2)/4, de modo que (n!)^2 >= ((n+1)^(2n))/4.
Temos que (((n+1)^(2n))/4)/(n^n) =
((((n+1)^2)/n)^n)/4. Eh facil ver que  ((n+1)^2)/n = n
+ 2 + 1/n eh crescente e tem minimo =4 em n=1, de modo
que ((((n+1)^2)/n)^n)/4 >=1 e eh crescente com n.
Concluimos finalmente que (n!)^2 >= ((n+1)^(2n))/4 >=
n^n, com igualdade sse n=1.  
Bom, acabou nao sendo por inducao finita.

b) Mostre que a média aritmética entre dois números é
maior ou igual à média geométrica.

Mostrar isto por inducao finita eh um parto
extremamente laborioso. Melhor fazer cesariana e
aplicar as proppriedades da funcao exponencial. A
demonstracao jah foi apresentada diversas vezes nesta
lista.

Artur


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