Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Eh isso aih, Bernardo!
Depois me ocorreu uma outra solucao, que acho que
tambem funciona. Se definirmos t_n - (b-x)/(n+1), acho
que dah certo.
Abracos.
Artur

--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> wrote:

> Com risco de chegar dobrado, vou tentar mandar de
> novo (deu um erro
> aqui, mas sei la)
> 
> Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema.
> Se você tem (a,
> +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer
> algo que seja
> suficiente em (a, b). Se você realmente se permite
> (a, b) aberto, com
> a e b finitos, eu acho que você faz assim:
> 
> Estou supondo b-a > 2, mas tudo pode ser escalado
> suficientemente
> (p.ex., começando mais longe no n)
> 
> Primeiro, pra cada n, "trunque" f nos pontos a+1/n e
> b-1/n, e
> prolongue linearmente até a e b, seguindo a
> inclinaç~ao que você
> quiser, gerando f_n.
> Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o
> limite fundamental
> com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está
> definido, como limite de
> constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ).
> Finalmente, prolongue
> constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a,
> a+1/3n) e (b-2/3n,
> b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x
> pertencente a (a, b)
> temos que, em algum momento (= para n
> suficientemente grande), n~ao
> teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em
> volta de x, o que
> diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR,
> g_n(x) -> f'(x).
> (na verdade, basta lateral à direita, que é o que
> estamos calculando)
> 
> Acho que é isso.
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
> On 9/2/05, Artur Costa Steiner
> <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> > Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao,
> mas encontrei dificuldade
> > em alguns casos particulares.
> > Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao
> f' eh dada pelo limite de
> > uma sequencia de funcoes continuas em I.
> > Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a,
> oo), com a real or -inf.
> > Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que
> convirja para 0 e satisfaca a
> > t_n > 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) =
> (f(x + t_n) - f(x))/(t_n),
> > verificamos que cada g_n eh continua e que g_n =>
> f'. Para intervalos do
> > tipo (-oo, a) a abordagem eh similar.
> > Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da
> forma (a,b), com a e b
> > reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-,
> podemos supor que t_n esta
> > em (0, b-a)
> > para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) -
> f(x))/(t_n) se a < x < b  - t_n e
> > g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n <= x < b.
> Cada g_n eh entao continua
> > em (a,b) e, como para n suficientemente grande
> temos x < b - t_n para todo x
> > de (a,b), segue-se que g_n => f'. De modo similar,
> podemos abordar o caso em
> > que f apresenta limite em a+.
> > Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam
> reais e f nao tenha limite
> > nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das
> duas abordagens apresentadas
> > da certo.
> > Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n
> <> 1 para todo n com t_n
> > => 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) -
> f(x))/((t_n - 1)*x) para todo
> > x<>0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta
> abordagem da certo, pois as
> > g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge
> para f'. Mas se 0 estiver em
> > (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se
> admitirmos que f' eh continua em
> > x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir
> que as g_n sejam sempre
> > continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral
> (g_n(0)) nao converge para
> > f'(0).
> > Assim, faltou um arremate final, talvez alguem
> possa dar uma sugestao.
> > Uma conclusao interessante deste teorema eh que o
> conjunto das
> > descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a
> classificacao de Baire (eh
> > dado por uma uniao enumeravel de conjuntos
> fechados com interior vazio).
> > Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a,
> b), o que significa que
> > derivadas nunca sao "muito" descontinuas. Mas isto
> nao siginfica que o
> > conjunto das descontinuidades tenha medida nula
> > Obrigado
> > Artur
> > 
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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