Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a,
+oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja
suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com
a e b finitos, eu acho que você faz assim:

Estou supondo b-a > 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente
(p.ex., começando mais longe no n)

Primeiro, pra cada n, "trunque" f nos pontos a+1/n e b-1/n, e
prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você
quiser, gerando f_n.
Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental
com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de
constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue
constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n,
b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b)
temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao
teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que
diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) -> f'(x).
(na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando)

Acho que é isso.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 9/2/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade
> em alguns casos particulares.
> Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de
> uma sequencia de funcoes continuas em I.
> Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf.
> Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a
> t_n > 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n),
> verificamos que cada g_n eh continua e que g_n => f'. Para intervalos do
> tipo (-oo, a) a abordagem eh similar.
> Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b
> reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta
> em (0, b-a)
> para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a < x < b  - t_n e
> g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n <= x < b. Cada g_n eh entao continua
> em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x < b - t_n para todo x
> de (a,b), segue-se que g_n => f'. De modo similar, podemos abordar o caso em
> que f apresenta limite em a+.
> Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite
> nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas
> da certo.
> Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n <> 1 para todo n com t_n
> => 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo
> x<>0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as
> g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em
> (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em
> x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre
> continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para
> f'(0).
> Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao.
> Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das
> descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh
> dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio).
> Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que
> derivadas nunca sao "muito" descontinuas. Mas isto nao siginfica que o
> conjunto das descontinuidades tenha medida nula
> Obrigado
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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