[obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

["lgita-2002" <lgita-2002@xxxxxxxxxx>]

Acho que, realmente, não fui claro.

O que eu quis dizer é que se f pertence a C^{1}_{S}([0,1]) então ela é contínua 
em todos os pontos do [0,1] e  exceto um número FINITO de pontos do [0,1] ela é derivável no [0,1]. Assim, f'(x) é uma função cujo domínio é [0,1]-{p1,p2,...,pN}, onde cada pj, j=1,...,N (N um natural), pertence ao [0,1]. 

Define-se então F'(x) = f'(x) nos pontos em que f é derivavel e F'(pj) = limite pela direita de f'(x) em pj.

De forma que F'(x) é contínua pela direita.

A metrica no C^{1}_{S} é:

d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|F'(x)-G'(x)|:x em [0,1]},

Exemplo: f(x)=|2x-1| (Prof. Nicolau) pertence a C^{1}_{S}([0,1]) pois tem UM ponto de descontinuidade no 1/2 e é contínua no [0,1]. A função F'(x) é -2 x<1/2 e +2 se x>=1/2 (veja que definimos ela continua pela direita).


[]'s

---------- Início da mensagem original -----------

      De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
    Para: obm-l@mat.puc-rio.br
      Cc: 
    Data: Fri, 2 Sep 2005 11:44:52 -0300
 Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

> Eu fiquei com uma duvida. Derivadas jamais apresentam descontinuidades do
> tipo salto. Logo, a unica forma de alguma funcao pertencer ao conjunto
> C^{1}_{S}([0,1]) eh a funcao ser diferenciavel e sua derivada nao apresentar
> nenhuma descontinuidade, ou seja, ser continua (apresenta 0 - un numero
> finito - de descontinuidades). Isto implica que C^{1}([0,1]) e
> C^{1}_{S}([0,1]) sejam o mesmo conjunto. A afirmacao eh, entao, trivialmente
> verdadeira, pois todo conjunto eh denso em si mesmo. 
> Acho que eu estou interpretamto equivocadamente ou hoive um engano no
> enunciado.
> Eh a sua questao nao eh de forma alguma off-topic.
> Artur
> 
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de lgita-2002
> Enviada em: quarta-feira, 31 de agosto de 2005 18:02
> Para: obm-l
> Assunto: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??
> 
> 
> 
> Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
> VERACIDADE ou FALSIDADE DE:
> 
> C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:
> 
> d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},
> 
> onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.
> 
> 
> Sou grato por qualquer ajuda.
> 
> ____________________________________________________
> Notação:
> 1) C^{1}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) contínuas que
> possuem derivada derivada primeira contínua.
> 
> 2) C_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que tem um
> número FINITO de descontinuidades do "tipo salto": são contínuas pela
> DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO
> pela esquerda.
> Exemplo: f(x) é igual a 1 se x<0 e igual 2 se x>=0;
> 
> 3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.
> 
> 4) C^{1}_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que são
> contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada
> pertence a C_{S}([0,1]) )
> 
> Exemplo:  |x| pertence a C^{1}_{S}.
> ______________________________________________________
> 
> 
> 
> []'s
> Gustavo
> 
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