Re: [obm-l] Desigualdade

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Danilo Nascimento wrote:
> 1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 >= 1/ 8

	Deve ter jeito mais elegante, mas...

	Suponha sem perda de generalidade que a>b. Se b for
negativo, então a será maior que 1, e verifica de imediato.
Como b não pode ser maior que 1, então verificamos que
0<= a,b <=1.

	Agora fazemos a=0.5+A e por consequência b=0.5-A. É fácil
ver que, dentro da suposição inicial a>b, então 0<=A<=1/2. Resta
apenas então abrir a expressão:

	(0.5+A)^4+(0.5-A)^4

	Os termos negativos vão cancelar, sobrando apenas:

	1/8+ 3A^2+ 2A^4

	Como 0<=A, então a expressão acima necessariamente
é maior ou igual a 1/8.

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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