[obm-l] criterio de Eisenstein

[Cca <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

>>Eu poderia usar este "dual " para mostrar que f(X) é >irredutível ou não em Z[X] ?
>

Irredutível? Sim. Em primeiro lugar, se f(X) é um polinômio não-constante, então a proposição (onde Q(D) é o corpo de frações de D)

(1) "f(X) não é o produto de dois fatores de grau >(ou igual) 1 em D[X]"

equivale a 

(2) "f(X) é irredutível em Q(D)[X]".

Esta equivalência (atribuída a Gauss) é provada no livro livro "Álgebra: um curso de introdução", dos mesmos autores. (A propósito, considero esse livro pouco lúcido e mal escrito.)

Em segundo lugar, é fácil provar que

(3) f(X) irredutível em Q(D)[X] => f(X) irredutível em D[X].

(A recíproca é falsa! Exemplos?)

Portanto, se vale (1), então f(X) é Irredutível em D[X]. Segue-se de (3) que o "dual" nos dá uma condição suficiente para provar que f(X) é Irredutível em D[X]. Aliás, decorre de (3) que o mesmo se aplica ao próprio Critério de Eisenstein.

Carlos César de Araújo
Gregos & Troianos Educacional
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG, Brasil
(31) 3283-1122

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================