[obm-l] criterio de Eisenstein

[Cca <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

>>Eu poderia usar este "dual " para mostrar que f(X) � >irredut�vel ou n�o em Z[X] ?
>

Irredut�vel? Sim. Em primeiro lugar, se f(X) � um polin�mio n�o-constante, ent�o a proposi��o (onde Q(D) � o corpo de fra��es de D)

(1) "f(X) n�o � o produto de dois fatores de grau >(ou igual) 1 em D[X]"

equivale a 

(2) "f(X) � irredut�vel em Q(D)[X]".

Esta equival�ncia (atribu�da a Gauss) � provada no livro livro "�lgebra: um curso de introdu��o", dos mesmos autores. (A prop�sito, considero esse livro pouco l�cido e mal escrito.)

Em segundo lugar, � f�cil provar que

(3) f(X) irredut�vel em Q(D)[X] => f(X) irredut�vel em D[X].

(A rec�proca � falsa! Exemplos?)

Portanto, se vale (1), ent�o f(X) � Irredut�vel em D[X]. Segue-se de (3) que o "dual" nos d� uma condi��o suficiente para provar que f(X) � Irredut�vel em D[X]. Ali�s, decorre de (3) que o mesmo se aplica ao pr�prio Crit�rio de Eisenstein.

Carlos C�sar de Ara�jo
Gregos & Troianos Educacional
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG, Brasil
(31) 3283-1122

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