[obm-l] cos(2*pi/17)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Aug 22, 2005 at 01:26:34PM -0300, Jefferson Franca wrote:
> Como posso calcular o cosseno de 2pi/17 ?

Vou dar só um esboço e a resposta.

Defina x1, x2, ..., x8 como xk = 2*cos(2*k*pi/17).
Prove que w1=x1+x2+x4+x8 e w2=x3+x5+x6+x7 são as raízes de w^2+w-4,
donde w1 = (-1+sqrt(17))/2, w2 = (-1-sqrt(17))/2.

Sejam z1=x1+x4 e z2=x2+x8. Prove que z1*z2 = -1. Como z1+z2=w1, conclua que
z1 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))/4,
z2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17)))/4.

Sejam y1=x1*x4, y2=x2*x8, y3=x3*x5, y4=x6*x7. Prove que y1*y2=-1.

Sejam u1=y1+y2, u2=y3+y4.
Prove que u1 e u2 são raízes de u^2+u-4 donde u1=w2, u2=w1.
Conclua que y1 e y2 são raízes de y^2 - u1*y - 1, donde
y1 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17)))/4,
y2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17)))/4.

Como conhecemos os valores de z1=x1+x4 e y1=x1*x4, fica fácil obter x1.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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