[obm-l] Domínio função (parte II)

[Cca <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Perguntaram qual é o domínio da função x^(1/3). O domínio "deveria" ser IR, mas foi notado que alguns softwares não produzem o gráfico "completo" da forma esperada. De fato,  os softwares Winplot (gratuito) e Mathematica são dois exemplos desse comportamento aparentemente estranho: nesses programas, o gráfico de y=x^(1/3) é uma curva sobre o semi-eixo não-negativo dos x -- dando a entender que x^(1/3) não é um número real se x<0. Mas não parece razoável dizer que, por exemplo, (-1)^(1/3)=-1?

Tudo depende da DEFINIÇÃO geral de "raiz" adotada nesses softwares. Dados x em IR e n em IN-{0}, temos DUAS definições de x^(1/3), as quais, para fins didáticos, chamo de "convenção real" e "convenção complexa". De acordo com a convenção real, x^(1/n) é sempre um número real quando x>=0 ou (x<0 e n é ímpar). A convenção complexa coincide com a real para x>=0; para x<0, x^(1/n) é sempre um número complexo não-real. Nestes termos, podemos dizer que o Winplot e o Mathematica utilizam a convenção complexa. Exemplos de softwares que utilizam a convenção real: Excel, GrafEq e DPGraph.

As definições são as seguintes:

Definição 1 (convenção real) se x>=0, então x^(1/n) é o y em IR tal que y>=0 e y^n=x; se x<0 e n é ímpar, então x^(1/n) é o y (<0) em IR tal que y^n=x.

Definição 2 (convenção complexa) se z é um número complexo qualquer, então z^(1/n) é o número complexo w de menor argumento no intervalo ]-pi,pi] tal que w^n=x. Uma versão do Teorema de De Moivre fornece a seguinte expressão trigonométrica para a raiz: z^(1/n)=abs(z)^(1/n)[cos(Arg z/n)+i*sen(Arg z/n)].

Esta definição requer uma discussão cuidadosa de certos casos preliminares. Em essência, está-se lidando aqui com um problema de EXTENSÃO de funções ao plano complexo. Para que a definição não pareça circular, devemos especificar o significado de (z)^(1/n) quando z>=0 (que é o tradicional) e definir (-1)^(1/2)=i.

Nesta última definição, tem-se ainda uma outra convenção: a escolha do argumento (principal). Uma escolha alternativa para o intervalo do argumento é [0, 2pi). Uma discussão mais aprofundada dessas "escolhas" -- visando eliminá-las ou uniformizá-las -- leva ao estudo das superfícies de Riemann (assunto que normalmente é tratado num segundo curso de "variáveis complexas" em muitas universidades).

Exemplo 1 Pela convenção real, (-1)^(1/3)=-1. Se usarmos a convenção complexa, então (-1)^(1/3)=1/2+i*3^(1/2)/2.

Exemplo 2. O Mathematica utiliza a convenção complexa por padrão. Neste software, obtemos a igualdade (-1)^(1/3)=1/2+i*3^(1/2)/2 com o comando ComplexExpand[(-1)^(1/3)].

Exemplo 3. Em softwares que utilizam a convenção real, o gráfico de y=x^(1/n), para n ímpar, é uma curva contínua sobre a reta inteira (ou, mais precisamente, sobre qualquer intervalo limitado da reta -- já que não é possível visualizar o gráfico "por inteiro").

Exemplo 4. Em softwares que utilizam a convenção complexa, o gráfico de y=x^(1/n), para n ímpar, apresenta apenas o ramo direito da curva do Exemplo 2. Para obter a curva "inteira" (como na convenção real), pode-se fazer o gráfico de y= sgn(x)*abs(x)^(1/n).

Carlos César de Araújo
Gregos & Troianos Educacional
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(31) 3283-1122

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