Re: [obm-l] trigonometria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o caso
do 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois e
igual...).
E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais!

Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos
1/a+1/b+1/c=1
Suponha a>=b>=c. Entao se c>=4, temos
1/a+1/b+1/c<=3/4<1, absurdo!
Logo c<=3
Ai e so testar!

*c=3
1/a+1/b=2/3
Se b>=4 entao 1/a+1/b <= 2/4 = 1/2 < 2/3, nao da!
Entao b<=3
Mas 3=c<=b<=3, o que da b=c=3
E (a,b,c)=(3,3,3) da certo.

*c=2
Ai 1/a+1/b=1/2
E entao b<=4

Testa de novo!
**b=4
1/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2)

**b=3
1/a=1/6
(a,b,c)=(6,3,2)

**b=2
1/a=0. Nao da!

c=1, nao serve!

Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z:

(xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27
(xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32
(xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2



A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito).
A segunda tambem nao...

Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldade
comclui-se que a solucao apresentada anteriormente e
unica (alias e exatamente a solucao que voce achou e
satisfaz uma porrada de requisitos adicionais...)


P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao tem
nada de trigonometria!

--- Jefferson Franca <jeffmaths@yahoo.com.br>
escreveu:

> E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ?
> 
> Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> <peterdirichlet2003@yahoo.com.br> escreveu:tg C= tg
> A + tg B/ 1- tg A. tgB
> tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B
> tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C
> 
> Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que 
> XYZ=X+Y+Z, o problema acaba.
> 
> Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao
> e
> mesmo unica.
> Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um
> dos caras X,Y,Z e no maximo 2.
> 
> --- Jefferson Franca 
> escreveu:
> 
> > Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja.
> > 
> > caiosg@globo.com escreveu:
> > Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que
> 2,
> > ou seja,
> > tg A = 2 + x
> > tg B = 2 + y (x,y >0)
> > 
> > A + B + C = 180
> > A + B = 180 -C 
> > tg (A + B ) = - tg C
> > tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y)
> > +xy)
> > = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy)
> > 
> > tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy)
> > 
> > Teremos que tg C > 2 <=>
> > 4 + x + y > 6 + 4x + 4y + 2xy
> > <=> 2 + 3x + 3y + 2xy<0 
> > Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma
> > nunca é negativa
> > ou seja, nunca vale que tg C > 2
> > 
> > ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que
> 2
> > (simultaneamente)
> > 
> > 
> > 
> > Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica!
> > 
> > 
> > 
> > 
> > 
> > '>'-- Mensagem Original --
> > '>'Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700
> > '>'From: Marcio 
> > 
> > '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'Subject: Re: [obm-l] trigonometria
> > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'
> > '>'On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson
> > Franca 
> > '>' wrote:
> > '>'
> > '>'> Será que alguém já viu esta questão ou tem
> > alguma idéia de como resolver
> > '>' 
> > '>'> ?
> > '>'> Sejam a ,b e c ângulos internos de
> umtriângulo
> > e, supondo que as 
> > 
> > '>'> tangentes dos três ângulos sejam números
> > inteiros e positivos, calcule
> > '>' 
> > '>'> essas tangentes.
> > '>'> Valeu
> > '>'>
> > '>'>
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> > '>'> Converse com seus amigos em tempo real com o
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> > '>'> http://br.download.yahoo.com/messenger/
> > '>'
> > '>'
> > '>'
> > '>'-- 
> > '>'Using Opera's revolutionary e-mail client:
> > http://www.opera.com/mail/
> > '>'
> > '>'Oi, Jefferson.
> > '>'
> > '>'Se não errei nada, aqui vai.
> > '>'
> > '>'Ângulos: a, b e c
> > '>'
> > '>'a + b + c = 180 => tg(a + b + c)= tg 180, ou
> > seja, tg(a + b + c) = 0
> > '>'
> > '>'Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0.
> > '>'
> > '>'No final das contas, chega-se a
> > '>'
> > '>'tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c)
> > '>'
> > '>'Como as tangentes são números inteiros e
> > positivos, uma opção (não sei
> > se
> > '>' 
> > '>'única) é
> > '>'
> > '>'tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3
> > '>'
> > '>'
> > '>'[]s,
> > '>'
> > '>'Márcio.
> >
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> e
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