Re: [obm-l] questão fácil de geometria

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

cada mediana divide o triangulo em dois outros triangulos:
1a mediana
dois triangulos de lados:
m1,a,c/2
m1,b,c/2
cada lado tem que ser menor que a soma dos outros dois
a<m1+c/2
b<m1+c/2
analogamente:
c<m2+a/2
b<m2+a/2
e
a<m3+b/2
c<m3+b/2

somando tudo:
2a+2b+2c<2*(m1+m2+m3) +(a+b+c)
de tal forma que:

m1+m2+m3>(a+b+c)/2

Abraço, saulo.

On 8/10/05, Marcos Martinelli <mffmartinelli@gmail.com> wrote:
>   Para provar que a soma das medianas é maior que o semi-perímetro,
> você pode fazer o seguinte:
>   Seja m_a a mediana relativa ao lado BC. Temos
> m_a=[2*(b^2+c^2)-a^2]/4. Vou provar que
> m_a=[2*(b^2+c^2)-a^2]/4>=[(b+c-a)^2]/4 <=>
>   2*(b^2+c^2)-a^2>=b^2+c^2+2bc-2a*(b+c)+a^2 <=>
>   (b^2-2bc+c^2)+2a*(b+c)>=2a^2 que é verdade pois
> (b^2-2bc+c^2)=(b-c)^2>=0 e como (b+c)>a => 2a*(b+c)>2a^2 e somando
> essas duas temos o que queríamos. Analogamente para as outras
> medianas, basta somar tudo e obter o semi-perímetro.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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