[obm-l] Convergencia/divergencia de uma serie - opinioes

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Olá a todos

Seja a_n, n=1,2,3.... uma sequencia de reais nao
negativos com a_1>0 e seja s_n a sequencia das somas
parciais de a_n. Foi-me pedido que analisasse a
convergencia/divergencia de Soma(n>=1) (1/s_n).

Inicialmente verificamos que, se s_n convergir para um
limite s, entao s>= a_1 >0 e lim (1/s_n)  = 1/s >0, de
modo que  Soma(n>=1) (1/s_n). diverge.

Se s_n divergir, entao s_n => oo quando n=> oo e .lim
(1/s_n)  = 0, de modo que o argumento anterior agora
nao leva a nenhuma conclusao. Aqui eu nao consegui uma
conclusao de fato geral, cito duas a que cheguei e que
me pareceram interessantes:

(1) -  Se existir algum k tal que s_n <= n para n >=
k, entao (1/s_n) >=1/ n para n>=k e a comparacao com a
serie harmonica nos mostra que  Soma(n>=1) (1/s_n)
diverge.
Isto nos mostra, por exemplo, que se a_n =1/n, entao
Soma(n>=1) (1/s_n) diverge, pois 1...+ 1/n <= n.
Nesta linha dah para fazer uma porcao de comparacoes,
por exemplo,  se existir k tal que a_n >= n^2 para n>=
k, entao Soma(n>=1) (1/s_n) converge. 

(2) - Este agora me parece mais interessante. Sabemos
que a serie Soma(n>=1) (a_n)/(s_n) converge se, e
somente se, s_n converge. Como, por hipotese, s_n
diverge, entao  Soma(n>=1) (a_n)/(s_n) diverge. Se
existir um k tal que a_n <=1 para n >=k, entao para n
>= k temos que 1/(s_n) >= (a_n)/(s_n) e, por
comparacao, concluimos que Soma(n>=1) (1/s_n) diverge.
Eh uma condicao suficiente, mas nao necessaria, para
divergencia. Por exemplo, se a_n = 2  para todo n,
entao esta condicao nao eh verificada mas  Soma(n>=1)
(1/s_n) diverge.

A condicao (2), supondo-se divergencia de s_n, implica
que lim sup a_n <=1.  Por outro lado, lim sup a_n < 1
implica 2 e, portanto, divergencia de  Soma(n>=1)
(1/s_n). Mas lim sup a_n = 1 nao implica (2) e acho
que aih nada se conclui. 

Considerando-se que Soma(n>=1) (1/s_n) sempre diverge
se s_n convergir, concluimos que se (2) se verificar
ou se apenas lim sup a_n <1 se verficar, entao 
Soma(n>=1) (1/s_n) eh divergente.  

Corolario: se s_n divergir e lim a_n =0, entao 
Soma(n>=1) (1/s_n) diverge.  

Serah que existe alguma conclusao interessante? No
caso em que s_n diverge, a pessoa a quem mostrei isto
nao julgou minhas conclusoes interessantes (mas tambem
nao apresentou nada melhor).

Artur



	
		
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