Re: [obm-l] Segunda prova da IMO - Problema 5 (agora vai...)

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Acho que mandei a mensagem anterior sem a solução. Agora la está lá...
   Abraços,
            Gugu

>
>Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
>
>Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
>agora.
>
>Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
>parecem ser bem legais!
>
>Os de ontem foram bem legais também. No começo, achei
>que os problemas eram difíceis porque nem tinha muita
>idéia de como resolver, mas depois que parei para
>pensar com mais calma consegui resolver dois problemas
>(1 e 2).
>
>4. Determine todos os inteiros positivos relativamente
>primos com todos os termos da seqüência infinita a_n =
>2^n + 3^n + 6^n - 1, n >= 1.
>
>5. Seja ABCD um quadrilátero convexo e fixado com BC =
>DA e BC não paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos
>variáveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE
>= DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e
>EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R.
>
>Quando variamos E e F, obtemos diferentes triângulos
>PQR. Prove que os circuncírculos desses triângulos têm
>um ponto comum diferente de P.
>
>6. Numa competição de matemática na qual foram
>propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram
>resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Além disso,
>nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre
>que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5
>problemas cada um.
>
>[]'s
>Shine
>
>
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>http://www.yahoo.com/r/hs 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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   No 5 eu fiz B=(0,0), C=(1,0), D=(c,d) e A=(c+cos(a),d+sen(a)). Se
E=(t,0), F=(c+t.cos(a),d+t.sen(a)), e aí as equações das retas AC, BD e EF
são: AC: y=(d+sen(a))(x-1)/(c+cos(a)-1), BD: y=dx/c, 
EF: y=(d+t.sen(a))(x-t)/(c+t.(cos(a)-1)). Achamos então P,Q e R: fazendo
w=c.sen(a)-d(cos(a)-1), temos P=(c(d+sen(a)),d(d+sen(a)))/w, Q=P+(1-t)u,
R=P+tv, onde u=-sen(a).(c,d)/w e v=sen(a).(c+cos(a)-1,d+sen(a))/w (não vou
me preocupar com denominadores que eventualmente se anulem - esses casos
seguem por continuidade). Agora, via uma homotetia, podemos supor que
P=(0,0), Q=(1-t,0) e R=(tm,th). O circuncírculo de PQR tem equação C+tL=0,
onde C=x^2-x+y^2-my/h e L=x-(m^2+h^2+m)/h. Assim, todos eles passam pelos
dois pontos de interseção de (C=0) e (L=0), que são (0,0)=P e
s.(m^2+m+h^2,h), onde s=(m^2+h^2)/(h^2+(m^2+m+h^2)^2). E acabou, né ?
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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