Re: [obm-l] geometria

[Marcio M Rocha <ddcristo@xxxxxxxxxx>]

Eder Albuquerque escreveu:

> Olá,
>  
> Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo 
> isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma 
> corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao 
> triângulo  ABC, tal que a distância de P a AB é 9 e a distância de P a 
> AC é 4. Encontre a distância de P a BC.
>  
> Não tô conseguindo resolver...
>  
> Grato,
>  
> Eder
>
> __________________________________________________
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>
A resposta é 6.

Sejam Q, R e D os pés das perpendiculares, respectivamente a AB, AC e BC 
por P.  Construa o triângulo BPC. Veja que os ângulos QBP e PCB são 
conguentes. Daí, os triângulos retângulos QPB e  PDC  são semelhantes, e 
podemos escrever que (PQ / PD) = (PB / PC).

Analogamente, os ângulos PCR e PBC são congruentes, donde vem a 
semelhança dos triângulos retângulos PCR e PBD, e podemos escrever que 
(PR / PD) = (PC / PB).

Logo, (PQ / PD) = (PD / PR), ou seja,  (PD)^2 = (PQ).(PR).

Pelo problema, PQ = 9  e  PR = 4. Assim, PD = 6.

Este problema consta do livro "Challenging Problems in Geometry".

Um abraço,

Márcio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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