[obm-l] RES: [obm-l] Série Divergente

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Seja t_n = Soma(n>=1) ((a_n)/(s_n)). Para todo k >=1 temos que t_(n+k) - t_n = (a_(n+1))/(s_(n+1)) ...+... (a_(n+k))/(s_(n+k)).  Como a_n tem termos positivos, s_n eh monotonicamente crescente e, portanto,   t_(n+k) - t_n > (a_(n+1))/(s_(n+k)) ...+... (a_(n+k))/(s_(n+k)) = (a_(n+1)  ...+... a_(n+k))/(s_(n+k))  = (s_(n+k) - s_n))/(s_(n+k)) = 1 - (s_n)/(s_(n+k)) . Como a_n >0 para todo n e s_n diverge, segue-se que s_n => oo.   Logo, para n fixo, temos que (s_n)/(s_(n+k)) => oo quano k=> oo, o que implica que, quando k => oo, 1 - (s_n)/(s_(n+k)) => 1. Assim, para todo n, escolhendo-se k suficientemente grande, obtemos  1 - (s_n)/(s_(n+k)) > 1/2 e, portanto, t_(n+k) - t_n >1 - (s_n)/(s_(n+k)) > 1/2. Observamos, assim,que t_n, a sequencia das somas parciais de (a_n)/(s_n), nao satisfaz ao criterio de Cauchy, sendo portanto divergente para infinito.

 

Um outro problema que me parece interessante, envolvendo sequencias e series, que eu acho que jah circulou aqui (eu andei meio fora do ar) eh o seguinte:

 

Se a_n uma sequecia real, p_n uma sequencia de pesos positivos e s_n = (Soma(n>=1)(p_n*a_n))/(Soma(n>=1)a_n) a seq. das medias ponderadas de a_n com relacao a p_n. 

 

Se Soma(n>=1)a_n divergir, entao liminf a_n <= liminf s_n <= limsup s_n <= limsup a_n.

 

Se Soma(n>=1)a_n convergir em R e a_n for limitada, entao s_n converge em R.

 

Como corolarios:

 

Se Soma(n>=1)a_n divergir e a_n => a nos reais expandidos, entao s_n => a.

 

Se Soma(n>=1)a_n convergir em R e a_n => a em R, entao s_n => s em R, podendo-se ter s<>a.

 

Abracos

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: terça-feira, 28 de junho de 2005 18:33
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Série Divergente

Oi, pessoal:

 

Achei esse problema interessante:

 

Seja (a_n) uma sequência de termos positivos tal que a série SOMA(n>=1) a_n diverge.

 

Seja s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n.

 

Prove que SOMA(n>=1) (a_n/s_n) também diverge.

 

Isso prova que, dada uma série SOMA a_n divergente de termos positivos, sempre existe uma série SOMA b_n, também de termos positivos, que diverge mais lentamente, no sentido de que lim b_n/a_n = 0. Basta tomar b_n = a_n/s_n.

 

[]s,

Claudio.