Re: [obm-l] dizima

[Marcos Paulo <boromir@xxxxxxxxxxxx>]

Brunno Fernandes wrote:

> Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar?
> Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração 
> geratriz é 25/147
>  
> eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando 
> o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o 
> numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em 
> fatores primos nao é possivel aplicar essa "regra"
>  
> Um abraco
> Brunno

O Professor José Paulo Q. Carneiro escreveu um artigo muito interessante 
na RPM 52 sobre dízimas periódicas. NEsse artigo há um método que não 
usa o algoritmo tradicional da divisão e consiste em tentar encontrar 
uma potencia de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147.
Seja n tal que 10^n = A*147 + 1, ou seja,
147 = (10^n - 1)/A
1/147 = A*1/(10^n - 1) = A* [(1/10^n) /(1-1/10^n)] = A/10^n *[1 + 1/10^n 
+ 1/10^2n + ...]
25/147 = 25A/10^n *[1 + 1/10^n + ...]

O número 25A será seu período.

No artigo ainda há uma explicação de como ter certeza de que haverá uma 
potência de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147 (que é primo com 
10). A certeza vem de um dos teoremas de Euler que garante que 
10^[phi(147)] deixa resto 1 na divisão por 147, onde phi(147 é o número 
de inteiros positivos menores que 147 e primos com 147. Phi(147) = 
147(1-1/3)(1-1/7) = 84. Isso me permite reduzir a procura das potencias 
de 10, bastando testar apenas os expoentes que são divisores de 84.
Não digo que é o melhor método ou que é o mais apropriado mas é uma 
alternativa interessante e o artigo é muito legal.. vale a pena ler.

[]'s MP
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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