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RE: [obm-l] Caso de divisibilidade

Eu supuz que p é primo. Se não for, então o teorema não vale.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 21 Jun 2005 21:59:26 -0700 (PDT)
Assunto: RE: [obm-l] Caso de divisibilidade
>
> Cláudio, Daniel, outros,
>
> Consegui encontrar vários contra-exemplos para esse
> problema. Sendo comb(a,b) o número de combinações de a
> elementos tomados b a b, ou comb(a,b)=a!/((a-b)!b!),
> pede-se mostrar que comb(a^c,b)=0(mod a), para c>=2,
> a^c>b. Entretanto:
>
> comb(6^2,4) = 3 (mod 6)
> comb(22^2,4) = 11 (mod 22)
> comb(6^3,8) = 3 (mod 6)
> comb(6^2,9) = 4 (mod 6)
> comb(12^2,9) = 4 (mod 12)
> comb(10^2,25) = 4 (mod 10)
> comb(6^3,27) = 2 (mod 6)
> comb(33^2,121) = 9 (mod 33)
> comb(21^3,343) = 6 (mod 21)
>
> Pode ser que eu tenha errado alguma coisa na hora de
> programar o computador para fazer as contas, mas pelo
> menos o primeiro exemplo eu conferi na mão. Eu não
> achei esses números ao acaso. Em todos eles, sendo a =
> p*q, com p e q primos, eu fiz b = p^c e escolhi um q
> que desse problema.
>
> Abraços,
> Maurício
>
>
> > Interessante! Dei uma olhada no livro que estou
> estudando e ele menciona essa fórmula (...)
>
> > > Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero,
> conhecida fórmula para o expoente de p em n!, igual a
> > > [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ....
> > > O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 <=
> k <= p^m - 1) é:
> > > [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] +
> > > (...)
> > > A partir dessas duas desigualdades é fácil
> concluir que o expoente de p no numerador é
> estritamente maior do que o expoente de p no
> denominador, de modo que p divide Binom(p^m,k).
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.
>
> > > > Oi, Maurício,
> > > > é possível resolver essa como aplicação imediata
> do teorema de lucas, que é o seguinte:
> > > > (...)
> > > > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais
> > > elementar deste fato...
> > > >
> > > > []s,
> > > > Daniel
> > > >
> > > > > Oi, pessoal,
> > > > >
> > > > > Estou em cima desse exercício de teoria dos
> números faz tempo e não cheguei a nada, alguém tem
> alguma dica?
> > > > > (...)
>
>
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