Amigos, por favor me ajudem nessas duas questões:
1) Seja G um grupo abeliano finito no qual o número de soluções em G da equação x^n = e é no máximo n. Mostre que G é cíclico.
Você por acaso tirou este aí do Herstein (Topics in Algebra)?
Este problema precisa de um lema preliminar (um outro exercício do Herstein) não muito difícil de se provar:
Se G é um grupo abeliano e a e b dois elementos de G cujas ordens são m e n com mdc(m,n) = 1, então ab tem ordem mn.
Seja |G| = m = p1^k1*...*pr^kr.
Suponhamos que G seja abeliano mas não seja cíclico.
Se m tem r divisores primos distintos, usamos r-1 vezes o lema e concluímos que, dentre estes, existe um primo p tal que:
i) p^k || m (ou seja, k é o maior inteiro tal que p^k divide m)
e
ii) nenhum elemento de G tem ordem p^k.
Caso contrário, G teria elementos a1, ..., ar cujas ordens seriam p1^k1, ..., pr^kr, respectivamente, e nesse caso, pelo lema 2, a = a1*...*ar teria ordem m, fazendo de G um grupo cíclico gerado por a ==> contradição.
Ou seja, se a pertence a G e a^(p^k) = e, então a^(p^(k-1)) = e.
Seja a pertencente a G.
É claro que a^m = e (consequência do teorema de Lagrange).
Mas a^m = (a^(m/p^k))^(p^k) = e.
Logo, pelo que vimos acima, (a^(m/p^k))^(p^(k-1)) = e.
Ou seja, a^(m/p) = e para cada a em G ==>
x^(m/p) = e tem m > m/p soluções.
2) Sejam N um subgrupo normal de G e a pertencendo a G um elemnto de ordem finita. Mostre que a ordem de a N em G/N é um divisor da o(a).
Nesse caso, é só provar que (aN)^k = a^kN e isso sai fácil por indução, levando em conta que N é normal, ou seja, bN = Nb para cada b em G.
Assim, se o(a) = m, então (aN)^m = a^mN = eN = N ==> o(aN) divide m.
[]s,
Claudio.