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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Ola Pessoal,
Pode ser que a mensagem abaixo nao tenha ficado suficientemente clara. Vou
complementa-la agora.
Uma PA e uma sequencia A1,A2,A3, ... tal que Ai+1 - Ai e constante para todo
i=1,2,... Adotando esta definicao e considerando que em muitas
circunstancias surgem PA's de ordem superior, seria desejavel extender este
conceito de forma que pudessemos preservar aquilo que ja sabemos e ampliar a
nossa compreensao.
Entao fazemos assim :
Uma PA1 e uma sequencia A1,A2,A3,... tal que Ai+1 - Ai = constante = K, K
diferente de zero, para todo i=1,2,3,.... Uma PA2 e uma sequencia
A1,A2,A3,... tal que Ai+2 - 2*Ai+1 + Ai=constante=K,
K diferente de zero, para todo i=1,2,3,... De maneira geral :
Uma PAn e uma sequencia A1,A2,A3,... tal que :
Somatorio(j=0 ate N){ [(-1)^j]*BI(N,j)*Ai+N-j } = constante = K, K diferente
de zero, para todo i=1,2,3,...
Note que esta definicao absorve bem o que ja sabemos e amplia, ao menos, o
nosso poder de computacao. De fato. Com base na definicao acima mostre que,
em particular :
Numa PA2 :
TERMO GERAL An=A1*BI(N-1,0) + (A2-A1)*BI(N-1,1) + (A3 - 2*A2+A1)*BI(N-1,2)
SOMA DOS TERMOS Sn=A1*BI(N,1) + (A2-A1)*BI(N,2) + (A3 - 2*A2+A1)*BI(N,3)
Aqui, em particular :
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 = BI(N,1)+3*BI(N,2)+2*BI(N,3)
Numa PA3 :
TERMO GERAL :
An=A1*BI(N-1,0)+(A2-A1)*BI(N-1,1)+(A3 -
2*A2+A1)*BI(N-1,2)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N-1,3)
SOMA DOS TERMOS :
Sn=A1*BI(N,1) + (A2-A1)*BI(N,2) + (A3 -
2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4)
Aqui, em particular :
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3=BI(N,1)+7*BI(N,2)+20*BI(N,3)+6*BI(N,4)
Usando a Definicao Geral Acima e considerando que uma sequencia de
constantes e uma PA0 ( PA zero ) prove a afirmacao seguinte : "Se A1, A2,
A3,... e uma PAr e B1, B2, B3, ... e uma PAs entao A1*B1, A2*B2, A3*B3,... e
uma PAr+s. Daqui Conclua o Teorema que enunciei na mensagem abaixo : Se
elevarmos cada termo de uma PAr a s-esima potencia obteremos uma PArs"
Tudo isso e muito simples. Talvez mais interessante e verificar que se
partirmos de uma PAn qualquer A1, A2, A3, ... e definirmos :
Tn-1,j=Aj+1 - Aj e Tn+1,j=A1+..+Aj
Conforme n for variando teremos todos os triangulos aritmeticos "Tipo
Pascal", cada qual caracterizado univocamente por um numero, o NIC do
triangulo. Se voce partir de uma PAn o polinomio em NIC :
P(NIC) = NIC^P + BI(P,1)*NIC^(p-1) + ...
Tem raizes tais que permitem definer o Triangulo harmonico conjugado, vale
dizer, as "colunas negativas" do triangulo de Pascal associado ou, o que
tambem da no mesmo, as PAr, r inteiro negativo. Aqui, P é o menor primo
maior que NIC. Bom, mas isso e outra historia e acabei fugindo do tema.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1120,100505
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões
>Date: Tue, 10 May 2005 12:07:02 +0000
>
>Ola Rafael !
>
>Seja BI(N,P)=N!/[P!*(N-P)!]. Se N<P, considere BI(N,P)=0. TEOREMA "Se
>elevarmos os termos de uma PAr a s-esima potencia teremos uma PArs. ("r",
>"s" inteiros nao negativos quaisquer )" Nos casos abaixo temos os termos de
>uma PA1 elevados ao quadrado e ao cubo. As somas sao :
>
>Para uma PA1*2=PA2 :
>Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)
>
>Para uma PA1*3=PA3 :
>Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4)
>
>Basta entao encontrar os coeficientes. Vou fazer os itens "h" e "i" :
>
>h) A1=1, A2=9 e A3=25. Logo :
>Sn=BI(N,1) + 8*BI(N,2) + 8*BI(N,3)
>
>i)A1=1, A2=27 e A3=125 e A4=343. Logo :
>Sn=BI(N,1) + 26*BI(N,2) + 72*BI(N,3) + 48*BI(N,4)
>
>Note que (x,x,x,...) e uma PA0 - PA de ordem zero - e nao uma PA1. So assim
>o teorema que enunciei implicitamente acima fica consistente.
>
>Um Abraco
>Paulo Santa Rita
>3,0904,100505
>
>>On 5/9/05, Faelccmm@aol.com <Faelccmm@aol.com> wrote:
>>Olá, pessoal !
>>
>>1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas
>>indicadas
>>
>>a) (1 + 2 + 3 + ...)
>>b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)
>>c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...)
>>
>>d) (2 + 4 + 6 + ...)
>>e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...)
>>f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...)
>>
>>g) (1 + 3 + 5 + ...)
>>h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...)
>>i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...)
>>
>>Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não
>>precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.
>>
>>
>>[]`s
>>Rafael
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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