Re: [obm-l] Progressões

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

S1=n*(n+1)/2                  (1)
S2=n(n+1)*(2n+1)/6         (2)
S3=S1^2                         (3)
Sj=soma da jesima potencia dos n primeiros numeros naturais

a)=S1
b)=S2
c)=S3

e)
>e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...+n^2=(2*1)^2+(2*2)^2+(2*3)^2+,,,(2*n/2)^2=
=4*(1^2+2^2+3^2+...+(n/2)^2)
Usando a formula (2)
=4*(n/2)(n/2 +1)(n+1)/6
=n(n+2)(n+1)/6

Analogamente a letra e
f)
 (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...+n^3=8(1^3+2^3+3^3+...+(n/2)^3)
Usando a formula 3
=8*((n/2)(n/2 +1)/2)^2=(1/8)(n(n+2))^2

 h) 
(1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)
calculando cada parcela separadamente:
1^2
3^2=(2+1)^2=2^2+2*2*1+1^2
5^2=(4+1)^2=4^2+2*4*1+1^2
.
.
(2n+1)^2===(2n)^2+2*2n*1+1^2
somando tudo
(1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)=[2^2+4^2+...(2n)^2] + [2*(2+4+...+2n) ]+n+1
1a parcela
[2^2+4^2+...(2n)^2]=4*n(n+1)*(2n+1)/6   =(2/3)*n(n+1)*(2n+1)
2a parcela
=4*(1+2+3+...+n)=4*n*(n+1)/2  =2*n*(n+1)
somando tudo
=(n+1)*[(2n+1)n*(2/3 )+2n +1]
(1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)=[=(n+1)(2n+1)(2n/3 +1)=
=(2n+1)(2n+2)(2n+3)/6

> i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...+(2n+1)^3)

A letra i e analoga a letra h so que desta vez vc vai ter que expandir
cubos, ou seja
1^3=1^3
3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1^3
5^3=(4+1)^3=4^3+3*4^2*1+3*4*1^2+1^3
.
.
(2n+1)^3===(2n)^3+3*(2n)^2*1+3*(2n)*1^2+1^3

somando os dois lados das desigualdades.
[2^3+4^3+...+(2n^3)] + 3[2^2+4^2+...+(2n)^2] +3[2+4+...+2n]+(n+1)=
=8(1^3+2^3+...+n^3)+12(1^2+2^2+3^2...+n^2) + 6(1+2+3+...+n)+(n+1)=

=8[n*(n+1)/2]^2 +12*n(n+1)*(2n+1)/6 +6*n*(n+1)/2 +(n+1)=
=(n+1)*[2n(n+1) + 2n*(2n+1) +3n +1]=(n+1)[(2n+1-1)(n+1)+2n(2n+1)+3n+1]=
=(n+1)[(2n+1)(n+1)+2n*(2n+1) + 2n]=
=(n+1)[(2n+1)(3n+1) +2n]=
=(n+1)[(2n+1)(3n+2) -1]
ou
=(n+1)(6n^2+7n+1)=(6n+1)*(n+1)^2
Que e o resultado procurado
Um abraço, saulo. As deducões das formulas 2 e 3 ja foram mostradas na
lista diversas vezes mas se vc quiser e so pedir que eu faço de novo.

On 5/9/05, Faelccmm@aol.com <Faelccmm@aol.com> wrote:
> Olá, pessoal !
> 
> 1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas
> indicadas
> 
> a) (1 + 2 + 3 + ...)
> b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)
> c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...)
> 
> d) (2 + 4 + 6 + ...)
> e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...)
> f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...)
> 
> g) (1 + 3 + 5 + ...)
> h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...)
> i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...)
> 
> Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não
> precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.
> 
> 
> []`s
> Rafael

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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