c) S = 1^3 + 2^3 + 3^3 +4^3 + ... +n^3 => S = Som[k=1, n] (k^3)
S = Som[k=1, n] (k^3 + 3k^2 + 2k - 3k^2 - 2k)
S =Som[k=1, n] k(k^2+3k+2) -3*Som[k=1, n] k^2 -2*Som[k=1, n] k
Sendo S' = Som[k=1, n] k(k^2+3k+2) = Som[k=1, n] k(k+1)(k+2), multiplicando e dividindo por (k-1)! tem-se S'=Som[k=1, n] (k+2)(k+1)k(k-1)! / (k-1)!
S'=Som[k=1, n](k+2)! / (k-1)! = Som[k=1, n] 3!(k+2)! / 3!(k-1)!
S'= 6*Som[k=1, n] Binom(k+2, 3) = 6*Binom(n+3, 4)
Foi demonstrado ha pouco tempo na lista que Som[k=1, n] k^2 = n(n+1)(2n+1)/6, e, como Som[k=1, n] k = n(n+1)/2, tem-se:
S = 6(n+3)(n+2)(n+1)n/24 - 3n(n+1)(2n+1)/6 - 2n(n+1)/2 = (n^4+2n^3+n^2)/4.
----- Original Message -----
From: Faelccmm@aol.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Progressões
Date: Mon, 9 May 2005 18:31:55 EDT
Olá, pessoal !
1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadas
a) (1 + 2 + 3 + ...)
b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)
c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...)
d) (2 + 4 + 6 + ...)
e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...)
f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...)
g) (1 + 3 + 5 + ...)
h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...)
i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...)
Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.
[]`s
Rafael
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