[obm-l] RES: [obm-l] análise real - oscilação

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Seja x pertencente a [a,b] e seja I_r um intervalo aberto centrado em x e de
raio r. Entao, w(f,x) = lim r->0 W(f, I_r), sendo W(f, I_r) a oscilacao de f
em I_r. Como f eh crescente em [a,b], para todo r temos W(f, I_r) =  S(I_r),
sendo S(I_r) o salto de f em I_r - diferenca entre os limites de f nos
extremos superior e inferior de I_r. Logo w(f,x) = S(x) = salto de f em x =
lim (y -> x+)f(y) - lim (y -> x-)f(y). 

(1) Se x_1, ...x_n pertencem a [a,b], entao o fato de f ser crescente neste
intervalo implica que Soma_{i=1..n} w(f,x_i) = Soma_{i=1..n} S(x_i) <= f(b)
- f(a).

2) Sabemos que f eh continua em x sse w(f,x) = 0. Se r >0, entao  X_r = {x|
w(f,x) > r} eh um subconjunto do conjunto das descontinuidades de f em
[a,b]. Como f eh crescente, este ultimo e, portanto, X_r, sao enumeraveis.
Se X_r for infinito, entao X_r = {x_1, x_2,...x_m,....}. Para cada m>=1,
temos que w(f,x_1)...+ w(f,x_m) > m*r. Escolhendo-se m suficientemente
grande, obtemos m*r > f(b) - f(a). Pelo carater crescente de f e pela
conclusao em (1) isto, entretanto, representa uma contradicao. Logo, X_r tem
que ser finito. Observamos que esta conclusao eh mais geral do que a que foi
enunciada, pos vale para todo r>0 e nao apenas quendo r =1/n, n =1,2,3...

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Lista OBM
Enviada em: quinta-feira, 28 de abril de 2005 09:16
Para: Lista OBM
Assunto: [obm-l] análise real - oscilação


Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:

Seja f: [a,b] --> R uma função crescente. Prove que:

i) Se x_1, ..., x_n pertencem a [a,b], então
Soma_{i=1..n} w(f,x_i) <= f(b) - f(a);

ii) Para todo inteiro posito n, o conjunto X_n = {x ;
w(f,x) > 1/n} é finito.

Notação: 
(1) Soma_{i=1..n} é mesmo que somatório com i variando
de 1 a n;
(2) w(f,x) é o mesmo que oscilação de f no ponto x.

Grato desde já, éder.

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