Re:[obm-l] Teo. Riez

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"OBM lISTA" obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART)

Assunto:

[obm-l] Teo. Riez

> Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay   (x´ é x transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a volta: dado um produto < , > interno em R^n existe uma matriz A como acima tal que <x,y>=xAy

>  

> Ou seja caracteriza produto interno em R^n

>  

> Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear.

> Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema

>  

 

Seja {u_1, u_2, ..., u_n} uma base do R^n.

 

Um produto interno no R^n é totalmente caracterizado pelos n(n+1)/2 valores de <u_i,u_j> com 1 <= i <= j <= n.

 

Sejam x = x_1*u_1 + ... + x_n*u_n  e  y = y_1*u_1 + ... + y_n*u_n dois vetores arbitrários do R^n.

 

Então <x,y> = SOMA(1<=i,j<=n) x_i*y_j*<u_i,u_j>.

 

Seja a matriz A(nxn) cujo elemento A_i,j = é igual a <u_i,u_j>.

 

É fácil ver que, neste caso, <x,y> = [x]'*A*[y], onde:

[x] = (x_1, x_2, ..., x_n)'  e  [x]' = transposto de x (idem para [y]).

  

Obviamente A é simétrica, pois <u_i,u_j> = <u_j,u_i>

 

Se u_i é o i-ésimo vetor da base, então:

[u_i]' = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)  (i-ésima coordenada igual a 1) ==> 

[u_i]'*A*[u_i] = A_i,i = <u_i,u_i> > 0 ==>

A é positiva definida

 

Em suma, dado um produto interno e uma base do R^n, existe uma única matriz simétrica positiva definida A tal que <x,y> = [x]'*A*[y].

 

Aliás, isso vale para qualquer espaço vetorial de dimensão finita sobre R (sobre C também, mas nesse caso, a definição de produto interno é ligeiramente diferente e a matriz é hermitiana)

 

[]s,

Claudio.