Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Neste caso, como f é crescente, só pode ter descontinuidades de
primeira espécie (saltos). Mas neste caso, a hipótese dada (ou seja,
para todo d em [f(a), f(b)] existe c em [a, b] tal que f(c) = d
implica que não pode haver saltos (pois neste caso, ao cara do "meio
do salto" não corresponderia c algum, já que f é crescente). Daí f é
contínua pois não possui saltos nem outras descontinuidades mais
complicadas.

Uma observação legal é que pode-se ter funções que sejam descontínuas
mas que tenham a "Propriedade do Valor Intermediário"(PVI). Os
melhores exemplos que eu conheço são dados pelo teorema que diz que a
derivada de qualquer função tem a PVI; tome agora a função f(x) = x^2
* sen(1/x), cuja derivada é 2x*sen(1/x) - cos(1/x) para x != 0 e f'(0)
= 0. Ela tem a PVI, mas não é contínua no zero.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Wed, 23 Mar 2005 09:00:44 -0300, claudio.buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> Acho que o que ele quer que se prove é: 
>   
> Se f:[a,b] -> R é crescente e se, além disso, para cada d em [f(a),f(b)]
> existir c em [a,b] tal que f(c) = d, então f é contínua em [a,b]. 
>   
> []s, 
> Claudio. 
>   
>  
>  De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br 
>  
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
>  
>  Cópia: 
>  
>  Data: Wed, 23 Mar 2005 08:01:53 -0300 
>  
>  Assunto: Re: [obm-l] Análise 
> > O que é exatamente a "recíproca do TVI"? Se for algo do tipo 
> > 
> > Para todo a < c < b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que 
> > f(a) < x < f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente 
> > (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou 
> > seja x < y => f(x) < f(y) e que a é diferente de b). 
> > 
> > Se for outra coisa, avise! 
> > -- 
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> > 
> > 
>  
> > On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo wrote: 
> > > 
> > > Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: 
> > > 
> > > Sendo f:[a,b]-->R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a
> recíproca 
> > > do teorema do valor intermediario é válida. 
> > > 
> > > Obrigado 
> > 
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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