Re: [obm-l] Exercícios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Exerc&iacute;cios

on 19.03.05 19:08, Daniela Yoshikawa at danieleakemi@yahoo.com.br wrote:

> Provar:
>  
> 1) a + b >= 0 ; a != 0; b != 0 -> a/b^2 + b/a^2 >= 1/a + 1/b
>     != (diferente)
>
> Eu prefiro escrever "diferente" como <>, mas eh soh questao de gosto...
>
> a/b^2 + b/a^2 - (1/a + 1/b) =
> (a^3 + b^3 - (ab^2 + a^2b))/(a^2b^2) =
> (a + b)((a^2 - ab + b^2) - ab)/(a^2b^2) =
> (a+b)(a - b)^2/(a^2b^2) >= 0  
>  
>
> 2) (a>=0 b>=0 c>=0) -> a + b + c >= ćab + ćbc + ćac
>
> O lado direito da desigualdade nao ficou legivel no meu computador.
> Procure nao usar caracteres especiais.
>
>  
> 3) (a>=0 b>=0 c>=0) -> ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) >= 6abc
>
> Como os numeros sao nao-negativos, vale a desigualdade MG <= MA.
> Assim: 
> (abc)^(1/3) <= (a+b+c)/3
> e
> (ab*ac*bc)^(1/3) <= (ab+ac+bc)/3.
>
> Multiplicando estas duas desigualdades, obtemos:
> abc <= (a+b+c)(ab+ac+bc)/9 ==>
>
> (ab+ac+bc)(a+b+c) - 9abc >= 0 ==>
>
> ab(a+b+c) - abc + bc(a+b+c) - abc + ac(a+b+c) - abc - 6abc >= 0 ==>
>
> ab(a+b) + bc(a+b) + ac(a+b) - 6abc >= 0 ==>
>
> ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) >= 6abc.
>
>
> []s,
> Claudio.