Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Tem aquele exemplo famoso (?) de uma funcao F:R -> R que satisfaz a F(x + y)
= F(x) + F(y) mas que eh descontinua em toda a reta.

A ideia eh tomar uma base {r_i} (necessariamente nao enumeravel) de R sobre
Q e, dado o real x = a_1*r_1 + ... + a_n*r_n (a_i: racionais; r_i: elementos
da base) definir F(x) = a_1 + ... + a_n.

Pela definicao e propriedades de uma base, temos F(x + y) = F(x) + F(y).

Alem disso, eh claro que F(x) eh racional para cada x real, de modo que, se
a eh irracional e x <> 0, entao F(ax) <> aF(x).

[]s,
Claudio.

on 16.03.05 20:18, Sergio Lima Netto at sergioln@lps.ufrj.br wrote:

> 
> Pelo que entendi a funcao  era definida como:
> 
> T([a1 a2]) = 
> i) [a1 a2], se a1!=a2; (eu prefiro a1 <> a2)
> ii) [0 0], se a1=a2;
> 
> Assim e´ facil ver que ela e´ homogenea
> (testa cada um dos dois casos). E´ facil ainda ver
> que ela nao e´ linear pois, para a != 0:
> 
> f([a 0]) = [a 0];
> f([0 a]) = [0 a];
> f([a 0] + [0 a]) = f([a a]) = [0 0];
> 
> E com isto, f([a 0] + [0 a]) e´ diferente
> de f([a 0]) + f([0 a]).
> 
> Se possivel, ggostaria de colocar uma outra pergunta:
> Sera´ que alguem cita uma funcao que satisfaz a propriedade
> f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2),
> mas nao satisfaz a propriedade
> f(kx1) = k f(x1)
> 
> Seria o inverso so exemplo anterior.
> 
> Abracos,
> sergio
> 
> On Wed, 16 Mar 2005, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote:
> 
>> Oi, Cláudio. Esta função é exatamente
>> T(z) = z/2 <=> Re(z) != Im(z)
>> T(a + a*i) = 0, para a >= 0
>> 
>> Ou seja, ela é quase T(z) = z/2.
>> 
>> Certo?
>> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 


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