01) Sejam P1, P2, Q1 , Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto-universo U. Suponha que P1 e P2 esgotam todos os casos possíveis ( ou seja, um elemento qualquer de U ou tem a propriedade P1 ou tem P2). Suponha ainda Q1 e Q2 são compatíveis ( isto é, excluam-se mutuamente). Suponha finalmente, que P1 => Q1 e P2 => Q2. Prove que valem as recíprocas Q1 => P1 e Q2 => P2.
02) Enquadre no contexto do exercício anterior o seguinte fato geométrico: Duas obliquas que se afastam igualmente do pé da perpendicular são iguais. Se se afastam desigualmente então são desiguais e a maior é a que mais se afasta.
03) SEjam X1X2, Y1Y2 subconjuntos do conjunto-universo U. Suponha que X1UX2 = U e Y1interY2 = vazio, que X1 está contido Y1 e que X2 está contido Y2. Prove que X1=Y1 e X2 = Y2
04) Compare o exercício anterior com o primeiro em termos de clareza e simplicidade dos enunciados . Mostre que qualquer um deles pode ser resolvido usando o outro. Estabeleça resultados análogos com n propriedades ou n subconjuntos em vez de 2. Veja no livro “Coordenadas no Espaço” , ( Coleção do Professor de Matemática, S.B.M. ) pag 83 uma utilização desse fato com n = 8.
05) Ainda no tema do primeiro exercício, seria válido substituir as implicações P1=> Q1 e P2=>Q2 na hipótese por suas recíprocas Q1=>P1 e Q2=>P2 ?
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