( 1 ) “Para todo x, é satisfeita a condição P(x),
( 2 ) “Existe algum x que satisfaz a condição P(x)
onde P(x) é uma condição envolvendo a variável x.
a) Sendo A o conjunto de todos os objetos x( de um certo conjunto-universo U) que satisfazem a condição P(x), escreva as sentenças ( 1 ) e ( 2 ) acima, usando a linguagem de conjuntos.
b) Quais são as negações de ( 1 ) e ( 2 ) ? Escreva cada uma destas negações usando conjuntos e compare comas sentenças obtidas em a).
c) Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa e forme sua negação:
· Existe um número real x tal que x^2 = - 1
· Para todo número inteiro n, vale n^2 > n
· Para todo número real x, tem –se x>1 ou x^<1
· Para todo número real x existe um número natural n tal que n > x
· Existe um número natural n tal que, para todo número real n > x.
02) Considere os conjuntos abaixo:
F = conjunto de todos os filósofos
M = conjunto de todos os matemáticos
C = conjunto de todos os cientistas
P = conjunto de todos os professores
a) Exprima cada uma das alternativas abaixo usando a linguagem de conjuntos:
1) Todos os matemáticos são cientistas
2) Alguns matemáticos são professores
3) Alguns cientistas são filósofos
4) Todos os folosofos são cientistas ou professores
5) Nem todo professor é cientista
b) Faça o mesmo com as alternativa abaixo:
6) Alguns matemáticos são filosofos
7) Nem todo filósofos é cientista
8) Alguns filósofos são professores
9) Se um filosofo não é matemático, ele é professor.
10) Alguns filósofos são matemáticos.
c) Tomando as cinco primeiras afirmativas como hipóteses, verifique quais das alternativas do segundo grupo sÃo necessariamente verdadeiras
03) Prove que, para x, y, z inteiros, tem –se x + 4y = 13K <=> 4x + 3y = 13(4k – y ). Conclua que 4x + 3y e x + 4y são divisiveis por 13 para os mesmos valores inteiros d x e y.
04) Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha A U ( A inter B ) = ( A U B ) inter C
05) Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar então sua raiz quadrada é impar.