RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira. Seja S um espaco metrico separavel e localmente compacto.  Por ser separavel, S contem um conjunto D que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao dos elementos de D. A cada x_n associemos, baseados na compacticidade local de S, uma vizinhanca B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser denso implica que  {B_n} seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por sua vez, implica que {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta por conjuntos compactos.

 Seja F um conjunto fechado de  S. Entao, a colecao {B'_n inter F} eh enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por conjuntos compactos, pois a interseccao de um conjunto compacto com um fechado eh compacta. A conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado de S eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos compactos.

Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus conjuntos compactos, enato a definicao de sigma-algebra implica que M contem a colecao dos fechados de S e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois esta ultima eh tambem gerada pelos conjuntos fechados  S. . Por outro lado a sigma-algebra de Borel contem a colecao dos compactos, pois todo compacto eh fechado. Assim a colecao dos compactos, a dos abertos e a dos fechados, todas geram a mesma sigma-algebra de Borel.

Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser extendido a espacos de Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao metricos, separabilidade nao implica a existencia de base topologica enumeravel. Mas se o espaco for Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a conclusao eh preservada.

Este raciocinio esta OK?

Artur

 

Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de alencar1980
Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PM
Para: obm-l
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando   "the topological space is a locally compact separable metric space".

E não apenas na reta.

 

O texto do site é:

 

"In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space."

 

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