Caro Bruno,
Obrigado pelo seu interesse em tentar ajudar.
Eu já tinha olhado no livro do Bartle (Elements of Integration - 1966) e neste livro, até onde pude ler, ele trata apenas como algebra de Borel aquela gerado pelos intervalos abertos da reta.
Na página 7, capítulo 2, (edição de 1966) ele fala:
"(g) Let X be the set R of real numbers. The Borel algebra is the
sigma-algebra B generated by all open intervals (a, b) in R. Observe that
the Borel algebra B is also the a-algebra generated by all closed intervals
[a, b] in R. Any set in B is called a Borel set"
Até onde pude ir no livro do Bartle percebi que ele trata apenas da álgebra de borel gerado por conjuntos abertos da reta. Ele não trata, até onde percebi, de espaços topológicos quaisquer, nem mesmo trato da sigma-algebra de borel gerada por conjuntos compactos (geralmente, segundo o site, diferente da sigma-algebra de borel gerada por abertos).
O livro do Fernandez da SBM eu não tenho em mãos mas acredito, pelo que lembro dele, que ele trate a álgebra de borel analogamente ao Bartle.
O outro livro eu não conheço. Vou procurar em alguma biblioteca; Espero que ele possa clarificar algumas das minhas dúvidas.
[]'s
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Cc:
Data: Wed, 26 Jan 2005 13:19:14 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
> Dá uma olhada no Bartle (deve ser Elements of Integration ) ou entao Fernandez da Sbm , esse é em portugues...
> Agora tem um livro, que eu so folhiei uma vez do Oxtoby, é um fininho acho que é Measure and Category talvez tenha
>
> Estou começando a estudar teoria da medida e fiquei confuso em um certo ponto.
>
> Nos livros que li a algebra de borel era considerada (definida) apenas para
> a reta (números reais) ou um subintervalo da reta; sendo a sigma-algebra de
> borel (dos reais ou de um subintervalo dos reais) definida como a menor
> sigma algebra que contém os conjuntos abertos.
>
> Os livros que consultei não entram em detalhes mas existem diversas possibilidades para os subconjuntos abertos da reta, não?
>
> Procurando na internet encontrei a página:
> http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html
>
> Que fala:
> "In mathematics, the Borel algebra (or Borel #963;-algebra) on a topological space is either of two #963;-algebras;s on a topological space X:
>
> The minimal #963;-algebra containing the open sets.
> The minimal #963;-algebra containing the compact sets. "
>
> Achei interessante o site mencionar DUAS possibilidades para a algebra de borel de um espaço topológico. Nos livros que tenho lido não achei nenhuma menção a este fato.
>
>
>
> Além disso achei interessante a afirmação:
>
> "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space."
>
> Alguém poderia me indicar algumas referências (ou comentar as referências que o autor do site cita) onde posso encontrar detalhes sobre estas algebras de Borel? Gostaria de entender com mais detalhes este assunto (algebra de borel) no caso em que eu tenho um espaço topológico qualquer e não apenas no caso da reta.
>
> Qualquer ajuda (comentário) será bem vindo.
>
> []'s
>
> Alencar
>
>
>
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