Re: [obm-l] Re: Sequencias

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem
legal para este tipo de problema � pensar racionalmente. Ou seja, tome
uma enumera��o qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2,
x_3, ...}. � claro que isto � uma seq��ncia, e o mais legal � que a
ader�ncia � todo [0,1]. Pense porqu�: um n�mero real qualquer possui
vizinhan�as arbitrariamente pequenas que cont�m infinitos n�meros
racionais. Assim, em qualquer ponto da sequ��ncia, como voc� s�
retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos,
portanto NENHUMA vizinhan�a destes n�meros perdeu todos os INFINITOS
racionais que ela continha. Uma das aplica��es � generalizar esta
demonstra��o (fa�a exatamente o mesmo) para espa�os onde os racionais
sejam densos e enumer�veis (isso � para evitar maiores patologias,
tipo dimens�o n�o-enumer�vel, coisas asssim), e � exatamente igual:
fa�a uma enumera��o dos mesmos.


On Wed, 19 Jan 2005 10:25:55 -0200, Artur Costa Steiner
<artur@opendf.com.br> wrote:
> (1) - a sequencia |sen(n)| eh um exemplo. Eh a imagem atraves da funcao seno
> dos inteiros positivos. Como |sen| eh continua e periodica em R e seu
> periodo fundamental pi eh irracional, temos que o conjunto dos pontos de
> aderencia de |sen(n)| eh o conjunto das imagens de |sen|, ou seja, [0,1].
> Outro exemplo eh a sequencia frac(raiz(n)), onde frac eh a parte fracionaria
> de n. O Claudio demosnstrou isto hah cerca de um mes.
> 
> (2) - para n suficientemente grande, temos que b^(1/n) <= x_n^(1/n) <=
> [n^(1/n)]^k.  Se n ->oo , b^(1/n) -> 1 e n^(1/n) ->1. Logo, [n^(1/n)]^k ->1.
> Por confronto, concluimos que lim x_n =1.
> Artur
> 
> Ola para todos!
> 
> Alguem poderia me ajudar nesses?
> 
> 1) Achar uma sequencia que tenha o intervalo [0,1] como conjunto dos seus
> valores de aderencia.
> 
> 2) Se existem b nao nulo e k natural tq b <= x_n <= n^k para todo n
> suficientemente grande entao lim x_n^(1/n) =1.
> 
> Notacao: x_n � a sequencia x(n)
> <= � menor ou igual
> 
> Um abraco!
> 
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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