[obm-l] Re: [obm-l] álgebra libear

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Se tivermos n=2 vetores, entao a prposicao decorre diretamente da definicao
de conjunto convexo. Adimtindo-se que seja valida para algum n>=2, seja x=
c_1*x_1 +...c_n*x_n + c_(n+1)*x_(n+1), sendo os x_i vetores de X, c_1
+...c_(n+1) =1 , 0 <= c_i <=1. Se S = c_1 +...c_n, entao 0 <= S <=1 e S = 1-
a_(n+1). Se S=0, x =x_(n+1) e temos trivialmente que x esta em X. Se s>0,
entao x = S*((a_1)/S*x_1 + ...(a_n/S)*x_n) + a_(n+1)* x_(n+1). Como 
a_1/S....+a_n/S =1 e 0 <= a_i/S <=1, temos que y =  (a_1)/S*x_1 + ...(a_n/S)
eh uma combinacao linear convexa de n vetores de X e, pela hipotese
indutiva, pertence a X. Logo, x = S*y + a_(n+1)*x_(n+1), de modo que x eh
uma combinacao linear convexa de 2 vetores de X, pertencendo assim a X. 
Isto completa a inducao e prova a prposicao
Artur

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] álgebra libear
Data: 15/01/05 00:07


Alguém sabe provar este problema proposto no livro do Elon (1.18-e)?

Seja X subconjunto convexo de um espaço vetorial; prove que toda 
combinação convexa de vetores de X ainda pertence a X.

Obrigado.
 


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