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Re: [obm-l] Probleminha....

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Probleminha....
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>
Date: Fri, 31 Dec 2004 18:47:57 -0200
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In-Reply-To: <I9KJH0$5C0DF40EB4D82BE67772AB5BE471BBF5@bol.com.br>
References: <I9KJH0$5C0DF40EB4D82BE67772AB5BE471BBF5@bol.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Eu não disse que 0^0 = 1. Isso não está definido. Mas lim x->0 x^x = 1:

x^x = exp(x * ln x). Como exp é contínua, teremos
lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x).

Para calcular lim x->0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como
(ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) = lim
x->0 (-x) = 0,
por l'Hôpital, lim x->0 ln x/(1/x) = 0.

Assim, voltando para exp, temos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x) =
exp(0) = 1.

Agora, se você falar que 0^0 = 1, você vai arrumar confusão. Mesmo
porque dá para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) ->0 e g(x) ->0
com x->0, mas podem acontecer os casos a seguir:
1) f(x)^g(x) não existe (use algo patológico como sen(1/x), sempre funciona...)
2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitrário (bom, pode ser complexo
também, se você quiser...)
3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito

Bom, sem mais,
Bom ano novo a todos da lista,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Fri, 31 Dec 2004 02:07:48 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
<1osv1@bol.com.br> wrote:
> > Cara, uma primitiva deve ter sim. Afinal, esta função é contínua em (0,
> +inf) 
> > e lim x->0 x^x            = 0^0 =1 ? ( a função é continua)
>  
>  
>  
>  
> 1, logo ela tem uma primitiva. Mas uma coisa 
> > bonitinha, analítica, aí tem que pensar mais. O Nicolau deve saber 
> > demonstrar se tem ou não. Aliás, como se chama mesmo o algoritmo para 
> > integração ?? 
> > 
> > Abraços e bom Ano-novo, 
> > -- 
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> > 
> > 
> > On Tue, 28 Dec 2004 17:11:19 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado 
> > <1osv1@bol.com.br> wrote: 
> > > > Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so 
> > > > precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto,
> observamos 
> > > > que se 0 < y < 1 e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y =
> e^(-x) 
> > > > + y = g(y). 
> > > 
> > > Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y) 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem 
> > > > um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo
> real 
> > > > y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x
> (0,1/e). 
> > > > Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a
> zero, 
> > > > obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a
> derivada 
> > > > parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e
> y. 
> > > > Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois
> se 
> > > > multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que,
> no 
> > > > ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados
> em 
> > > > 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao 
> > > > possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for
> > > ponto 
> > > > de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a 
> > > > desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo,
> conforme 
> > > > podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma
> a 
> > > > desigualdae vale, pois f >1 na fronteira. 
> > > > Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o
> comportamento 
> > > de 
> > > > f para 0 
> > > > Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de 
> > > calculo 
> > > > sao bastante simples. 
> > > > Artur 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ? 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > > > 
> > > > 
> > > > --------- Mensagem Original -------- 
> > > > De: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > > Para: "obm-l" 
> > > > Assunto: Re: [obm-l] Probleminha.... 
> > > > Data: 28/12/04 06:18 
> > > > 
> > > > 
> > > > Olá Vinicius. 
> > > > 
> > > > Será que vc procurou direito? 
> > > > 
> > > > Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos" 
> > > > 
> > > > "Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1" 
> > > > 
> > > > A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções
> de 
> > > > probemas propostos". 
> > > > 
> > > > A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata.
> Assim 
> > > "os 
> > > > alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos. 
> > > > 
> > > > a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a 
> > > > 
> > > > notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que 
> > > > 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1)) 
> > > > somando as desigualdades chegamos ao resultado. 
> > > > 
> > > > A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo. 
> > > > 
> > > > 
> > > > []'s. 
> > > > 
> > > > 
> > > > > Oi Vinicius, 
> > > > > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil -
> mas 
> > > > > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um 
> > > tanto 
> > > > > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui..
> Falta 
> > > > dar 
> > > > > uma revisada, posso ter cometido algum engano. 
> > > > > Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1)
> x 
> > > > (0,1) 
> > > > > e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar
> (x,y) 
> > > > em 
> > > > > (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase
> sempre 
> > > > > apresentam algo interessante em e ou em 1/e. 
> > > > > Artur 
> > > > > 
> > > > > 
> > > > > ------- Mensagem Original -------- 
> > > > > De: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > > > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
> > > > > Assunto: [obm-l] Probleminha.... 
> > > > > Data: 24/12/04 02:26 
> > > > > 
> > > > > 
> > > > > Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa
> me 
> > > > > esclarecer ficarei muito grato: 
> > > > > 
> > > > > 
> > > > > X^y+y^X>1 
> > > > > 
> > > > > Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!! 
> > > > > 
> > > > > 
> > > > > Vinícius Meireles Aleixo 
> > > > > 
> > > > > ________________________________________________ 
> > > > > OPEN Internet e Informática 
> > > > > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ 
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> > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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> > > > Atenciosamente, 
> > > > Osvaldo Mello Sponquiado 
> > > > Engenharia Elétrica, 2ºano 
> > > > UNESP - Ilha Solteira 
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  - From: Osvaldo Mello Sponquiado

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