Re: [obm-l] Quadrilatero Circunscritivel

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

O 1o. enunciado tirei de uma lista. Será o mesmo
problema que o Claudio propôs (2o. enunciado) ?

Uma solução segue mais abaixo.

[]'s
Luis

>>Circle with center in point H is inscribed into convex quadrilateral
>>ABCD, point H doesn't lie on line AC. Diagonals AC and BD intersect
>>at point F. Line passing through point F and perpendicular to line
>>BD, cuts lines AH and CH in points R and S respectively. Prove that
>>RF=FS.
>>
>>Michel Swift
>


> >> Let ABCD be a quadrilateral with an inscribed circle with center O (all
> >> sides of the quadrilateral are tangent to the circle).  Assume that O 
>does
> >> not lie on AC.  Construct a line through E on BD perpendicular to BD.
> >> Then this line meets OA at R and OC at S.  Show that |ER|=|ES|.
> >>


    One can view vertices of ABCD quadrilateral as foci and points of
    a rectangular hyperbola  ( B,D  - foci,   A,C - points on
    one branch,   because  AB+CD = BC+AD  or AB-AD = BC-CD = 2a )
    Then lines AH, CH are tangents to hyperbola at A and C.

    A line perpendicular to BD (main axis) at point F cuts tangents at
    symmetric points wrt BD.

    Cheers,

    K. Jeff.




>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Circunscritivel
>Date: Sun, 12 Dec 2004 00:25:25 -0200
>
>on 11.12.04 22:07, Rogerio Ponce at rogerio_ponce@hotmail.com wrote:
>
> > Só pra tirar as dúvidas:
> >
> > Suponha que |ER| = |ES| .
> >
> > Agora trace uma paralela a RS original, determinando novos pontos E,R e 
>S.
> >
> > Como o ponto O não pertence a BD, necessariamente os novos |ER| e |ES| 
>serão
> > diferentes entre si.
> >
>Nao necessariamente. E se BD for a mediatriz de RS? Alias, isso eh
>justamente o que o problema pede que se prove.
>
> > Portanto, não basta que o ponto E pertença a BD.
> >
> > []'s
> > Rogério.
> >
> >
> >
> > ------------------------------------------
> >
> >
> >> Eu acho que é para qualquer E pertencente a BD... pelo menos no
> >> desenho que eu fiz ficou assim. Mas ainda não demonstrei.
> >
>Essa tambem foi a minha interpretacao.
>
>[]s,
>Claudio.
>
> >> Abraços
> >> --
> >> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > ------------------
> >> From: "Rogerio Ponce"
> >>
> >> Olá Claudio,
> >> onde fica o ponto E?
> >> Com certeza, não basta ele pertencer a BD.
> >> []'s,
> >> Rogério.
> >>
> >> -------------------------------------
> >> Oi, pessoal:
> >>
> >> Um amigo me mandou este aqui, o qual nao me parece muito trivial...
> >>
> >> Let ABCD be a quadrilateral with an inscribed circle with center O (all
> >> sides of the quadrilateral are tangent to the circle).  Assume that O 
>does
> >> not lie on AC.  Construct a line through E on BD perpendicular to BD.
> >> Then this line meets OA at R and OC at S.  Show that |ER|=|ES|.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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