Re: [obm-l] Seqüência numérica

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Artur Posenato (posenato@yahoo.com) escreveu:
>
>Dúvidas:
>
>> Faça f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ...
>> Não é muito difícil verificar que quer formalmente
>> quer quando isto faz sentido,
>> f(x) = (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...)^2.
>
>    Você poderia provar essa relação acima? Sem
>assumir que os termos da seqüência original não
>crescem indefinidamente?

Bem, g(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + - ... é uma série que converge absolutamente
para |x| < 1. Isso pode ser visto pelo critério de Leibnitz, pois é uma
série alternada e |x^n| tende de forma decrescente para 0 se |x| < 1. Isso
nos permite multiplicar g(x)*g(x) para obter f(x) = (1 - x + x^2 - + ...)^2
com intervalo de convergência -1 < x < 1.

Como g(x) é absolutamente convergente (para |x| < 1), então f(x) também é e
podemos associar e comutar os termos do produto g^2, obtendo a relação f(x)
= 1 - 2x + 3x^3 - 4x^3 + - ...

>> Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... é a soma de
>> uma PG
>> e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em
>> algum sentido,
>> f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
>
>    Essa equação para soma de PG é o resultado de um
>limite quando 0<x<1, e você está usando para x=1.

Concordo com você, embora o Nicolau tenha feito a ressalva "em algum
sentido"... Mas que sentido?

>Além disso f(x) = 1/(1+x) onde x = 1 é 1/2 e me parece
>muito contra-intuitivo que a soma de números naturais
>resulte em números irracionais (mas, posso estar
>enganado pois constantemente me surpreendo com os
>limites).

Você quis dizer números inteiros e números racionais, não? E está certo!
Nenhuma série convergente envolvendo inteiros pode resultar num número não
inteiro... Isso decorre do fato de que uma tal série converge se (e somente
se) existe um número finito de termos não nulos. Havendo portanto apenas um
número finito de inteiros a somar, isso prova que neste caso a intuição está
certa, pois a soma de um número finito de inteiros é ainda um inteiro.

>    Para mim, a forma mais natural de analisar seria:
>
>0 + 1 - 2 + 3... = (1 + 3 + 5 + ...)-(2 + 4 + 6 ...)
>
>que são duas PA's,  onde SPA = (a1 + an)n/2 e agora as
>suposições.1 - Soma-se sempre um número par seguido de
>um ímpar? (assim n seria igual para as duas PA´s) ,
>etc...

Nem sempre é possível usar associatividade e comutatividade para um número
infinito de termos numa série. Neste caso, por exemplo, isso não é
permitido, pois a série não é absolutamente convergente (nem sequer é
convergente).

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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