Re: [obm-l] Seqüência numérica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 05, 2004 at 08:53:41PM -0300, agatavares@yahoo.com.br wrote:
> 
> Dando aula numa turma de 2º ano do Ensino Médio, um grupo de alunos me fez a
> seguinte pergunta:
> 
> 	Qual o valor da soma 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + ...?
> 
> Confesso que tentei resolver e não consegui.
> 
> Será que algum de vocês poderia me ajudar?

A melhor resposta é a que já deram: a série diverge.
Mas não precisamos nos render tão facilmente...

Faça f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ...
Não é muito difícil verificar que quer formalmente
quer quando isto faz sentido,
f(x) = (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...)^2.
Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... é a soma de uma PG
e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em algum sentido,
f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.

Outra forma de chegar a um limite é a de Césaro, que consiste em tomar médias.
Vamos primeiro calcular a soma até cada ponto:
1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
Fazendo a média até cada ponto, temos
1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, 0, ...
Fazendo médias de novo, temos
1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 17/45, 298/735, 149/420, ...
e podemos sem muita dificuldade mostrar que isto também tende para 1/4.

Ou seja, com alguns dos critérios mais naturais para somar séries divergentes,
a resposta é 1/4.

[]s, N.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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