[obm-l] Re: [obm-l] desigualdade entre m�dias

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Se x_1,....x_n sao numeros positivos e se a,g e h sao as suas medias
aritmetica, geometrica e harmonica, entao h<=g<=a, sendo que as igualdades
ocorrem se, e somente se, x_1 = ...x_n.
Isto eh uma consequencia da  famosa desigualdade das medias aritmetica e
geometrica, ou seja, a>=g com igualdade sse x_1 = ...x_n. Hah diversas
demonstracoes desta desigualdade, varias jah circularam na lista. 
As definicoes de a,g e h implicam que, se a', g' e h' sao as medias
aritmetica, geometrica e harmonica dos inversos dos x_i, entao h =1/a' e g
=1/g' . Da desigualdade das medias arit. e geom., temos que a'>=g', com
igualdade sse os numeros forem todos iguais. Como todas as medias sao
positivas, segue-se que h <=g. Combinando-se todas as desigualdades,
chegamos a h<=g<=a, com igualdade nos dosi casos sse x_1 =...x_n.
Artur    


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] desigualdade entre m�dias
Data: 28/10/04 02:52

A m�dia aritm�tica � >= a m�dia harm�nica. Algu�m pode provar??
   Um abra�o,
       Crom

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