Re: [obm-l] Re:Demonstrar Desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Bem, da pra consertar tambem com Jensen. Se usarmos a funçao

log(x), ela e de boica para baixo, logo log(a)+log(b)/2<=log((a+b)/2)

Assim,

 

log((a^p*b^q)^(1/(p+q)))=(p*log a+q*log b)/(p+q)>=log((ap+bq)/(p+q))

Ai e so cortar o log(log e crescente) e acabou!

 

Ricardo Bittencourt <ricbit@700km.com.br> wrote:

> Edward Elric wrote:
>
> > Esqueci de dar as restriçoes: a>0 ,b>0, p>1.
> > 
> > A passagem que voce usou medias só é valida se p e q pertencem ao 
> > conjunto dos naturais, mas isso não é obrigatoriamente verdade.
>
> Ah, tem razão, mas acho que dá pra consertar. Se eu mostrar
> que vale pra todos p e q racionais, então vale pra todos os
> reais também, certo? É só tomar no limite intervalos de racionais
> cada vez mais fechados. Então resta provar que vale pros racionais.
> Seja p=c/d e q=e/f. Vou usar as médias de novo, dessa vez tomando
> "ed" vezes a^p, e "fc" vezes b^q:
>
> (ed(a^p)+fc(b^q))/(ed+fc) >= ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ed+fc))
>
> Como 1/p+1/q=1, então d/c+f/e=1 e de+fc=ce. Daí:
>
> (ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ce))
>
> Mas ped=(c/d)ed=ce, qfc=(e/f)fc=ec, então:
>
> (ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >=
>  ((a^ec)(b^ec))^(1/(ce))
> (ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ab
>
> Agora ed/ce=d/c=1/p, fc/ce=f/e=1/q, por fim:
> (1/p)(a^p)+(1/q)(b^q) >= ab
>
> QED
>
> ----------------------------------------------------------------
> Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
> ricbit@700km.com.br "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
> ------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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