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Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Soh pra completar o que o Artur disse: a sua solucao alternativa estah
correta, mas da mesma forma que antes, estah incompleta, faltando provar que
a sequencia que origina os radicais encaixados converge (o que o Artur chama
de "comprovacao matematica que leva aos resultados desejados")
Agora, pode ser que a banca do vestibular - mesmo um puxado como o do IME -
queira apenas a resposta - o valor do limite - e considere como dada a
convergencia da sequencia correspondente. A questao passa, assim, a medir a
engenhosidade do candidato em manipulacoes algebricas, mas nao o seu
conhecimento dos fundamentos de analise matematica.
Acredito que, numa prova de um curso serio de analise, a sua solucao
ganharia apenas credito parcial.
*****
Sobre o problema que voce mencionou, da equacao x^x^x^... = raiz(2), acho
que dah pra provar que existe um real a tal que a sequencia (x(n)), definida
por:
x(1) = b;
x(n+1) = b^x(n) (n >= 1)
converge se e somente se b <= a (pode ser que seja b < a).
Isso eh razoavel se voce considerar que a sequencia converge para 1 se b = 1
e diverge se b = 2. Logo, a deve pertencer a (1,2).
Se nao me engano, a = e^(1/e) ~ 1,444667... mas nao tenho 100% de certeza...
[]s,
Claudio.
on 11.10.04 17:17, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:
> Acho que uma resposta geral aa sua pergunta eh dificil. No caso da sequencia
> que ciculou na lista, era, de fato, essencial provar que a mesma era
> convergente antes de de resolvermos a equacao f(x) = x. Mas isto nao eh um
> conceito "superior", eh algo basico para que estuda sequencias.
> O que se costuma chamar de artificio eh um processo, envolvendo manipulacoes
> algebricas, que permite resolver algum problema de forma rapida. O nome
> artificio vem de artificial, o que me parece uma denominacao infeliz. Como
> podemos definir o que eh natural e o que eh artificial? O importante eh que
> qualquer processo tem que ser matematicamente consistente e soh pode ser
> aplicado se houver comprovacao matematica de que leva aos resultados
> desejados. O problema eh que algumas vezes se aplicam estes processos
> chamados de artificios a situacoes e que eles nao soa validos.
> Quanto a se eh possivel resolver um problema sem recorrer a a conceitos de
> nivel superior, temos antes de mais nada que estabelecer o que eh conceito
> de nivel superior. Eh dificil dar uma resposta geral. As vezes eh possivel,
> dependendo do que se considera como superior. Por exemplo, eh possivel
> demonstrar recorrendo apenas aa Algebra, sem calculo diferencial, que
> trinomios do segundo grau tem um unico maximo ou um minimo, assim como eh
> possivel soh com a Algebra determinar para que valor ocorre este maximo ou
> minimo. Eh bem mais complicado do que com o calculo - com o qual a solucao
> eh imediata -, mas eh possivel.
> Mas soh com a Agebra me parece dificil mostrar que f(x) = x*e^x tem um
> minimo em x=-1.
> Artur
>
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
> Data: 08/10/04 19:29
>
>
> Para Claudio, e os amigos da lista
> Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que
> soh estaria correta se soubesse que a serie realmente
> convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado
> fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas
> com ela (tipo x^x^x... = sqrt2) são questões que jah
> cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada
> foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria
> uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel
> superior?
> []s
>
> Outra soluçao:
> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*)
> Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> Note que (*) pode ser reescrita como:
> x = sqrt (u +2) e portanto:
> x = sqrt (x + 2)
> Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq.
> do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1.
> Portanto a soluçao eh dois.
> []s
>
>
>
> ---------- Início da mensagem original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
> Cc:
> Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300
> Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
>
>> Seja (x(n)) a sequência definida por:
>> x(1) = raiz(2)
>> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1.
>>
>> 1. (x(n)) é limitada:
>> Basta provar que x(n) < 2, para todo n.
>> Para n = 1 é óbvio.
>> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x
> (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou.
>>
>> 2. (x(n)) é monótona crescente:
>> Obviamente os x(n) são todos positivos.
>> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2.
>> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0
> < x(n) < 2.
>>
>> (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x
> (n).
>>
>> Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x
> = -1.
>> A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é
> positivo.
>>
>> Assim, só pode ser lim x(n) = 2.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Cópia:
>>
>> Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300
>>
>> Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício
>>
>>
>>
>>>> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>>>
>>>> x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>>> x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>>>
>>>
>>>
>>> Nesta etapa aqui eh necessario a analise da
> convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>> Certamente convergira, alguem sabe para qual numero
> isto converge ?
>>>> x^2 - 2 = x
>>>> x^2 - x - 2 = 0
>>>>
>>>>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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