Re: [obm-l] [obm-1] Probabilidade

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Há uma solução espetacular para esse problema no livro "Proofs from the
Book".
    Seja E(x) o numero esperado de cruzamentos ao lancarmos uma curva de
comprimento x na sua regiao. (note que no caso de essa curva ser uma agulha
de comprimento 2r < a, E(2r) eh exatamente a probabilidade procurada). (*)
    Eh facil ver que E(x) eh uma funcao crescente e linear (E(x+y) = E(x) +
E(y)), e portanto E(x) = cx para algum real x. (**)
    Considerando o valor esperado para uma circunferencia de raio a/2,
obtemos E(2pi*a/2) = 2 => c*pi*a = 2, donde E(x) = 2x/(pi*a), e em
particular, a probabilidade procurada eh E(2r) = 4r/(a*pi).

    Note que eu escrevi a solucao de forma bem resumida. Pense um pouco que
voce vai entender pq (*) esta correto. Ja (**) eh um resultado classico, mas
se voce nao o conhece prove-o fazendo inducao em E(nx) e em seguida
calculando E(px/q) para p,q inteiros.

    []s
    Marcio


----- Original Message ----- 
From: "Edward Elric" <edwardelric666@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, October 12, 2004 7:34 PM
Subject: [obm-l] [obm-1] Probabilidade


> Eis um problema de probabilidade que me parece de um nivel consideravel:
>
> Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por
> retas paralelas. Lance sobre a regiao, ao acaso, uma agulha de comprimento
> 2r, com 2r<a. Qual a probabilidade de que a agulha corte umas das
paralelas?
>
> Eu nao consegui, seria bom uma ajuda :)
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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