|
Problema
São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD
e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR são
semelhantes.
Fixemos o triângulo ABC no seu plano.
Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas
marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos
dão as congruências dos triângulos PQR e ALM
(LAL).
A reta suporte da mediana AD corta o segmento de
reta LM num ponto K, o qual pelas hipóteses de igualdade de ângulos
BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento
LM.
Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC
podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortará AB e AC
(semiretas)
nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria
um paralelogramo! Um contradição.
Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM
são semelhantes e temos o resultado.
Um abraço do colega
Tércio Miranda
|