Re: [obm-l] Teoria Grupos/Polinômios

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Vou ajudar no primeiro exercício (até pq eu não estudei anéis ainda):

>1) Seja (G,*) um grupo com um número (finito) par de
>elementos. (|G|=numero de elementos de G=2*k)
>1.a) Mostre que existe um g em G tal que g != e (g é
>diferente da identidade do grupo) e g*g = e.

Faça G' = G \ {e}. |G'| é portanto ímpar. Através de um argumento
combinatório (levando-se em consideração a unicidade do inverso) vc chega no
resultado.

>1.b) Mostre que se o gupo tiver 2*(2k+1) elementos (2
>vezes um número ímpar) e G for um grupo abeliano então
>o elemento do item anterior é único.

Se houvesse mais de um elemento assim, pegue dois deles (a e b) e observe
que {e, a, b, ab} é subgrupo de ordem 4, impossível pelo teorema de Lagrange.

>1.3) É possível concluir o item b se o grupo não for
>abeliano?

Não. Contra-exemplo: qualquer grupo não-abeliano de ordem 6. Mais
especificamente, use o S_3 (todo outro é isomorfo a ele).


[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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