Re: [obm-l] Geometria Plana

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Bem, eu fiz isso meio corrido, certamente há passagens que possam ser
melhoradas por caminhos mais curtos. Ok.

Considere o triângulo ABC. Seja H_x o pé da altura relativa ao vértice X (Ha
e A, por exemplo), M_x o ponto médio do lado oposto ao vértice X, L_x o
ponto médio do segmento que une o vértice X ao ortocentro H e seja M o
circuncentro.

Vou fazer em particular para o vértice A; os demais são análogos. Repare que
HH_a//MM_a pois ambos são perpendiculares a BC. Temos que HL_b/HL_c = (HB/2)/
(HC/2) = HB/HC e ^BHC é comum ==> HL_bL_c ~ HBC ==> L_bL_c//BC.

Seja P_a = L_bL_c inter HH_a.

Temos HP_a perpendicular a L_bL_c, e portanto P_a é pé da altura relativa a
H no triângulo HL_bL_c.

Trace HM_a e seja N_a = L_bL_c inter HM_a.

É fácil ver que N_a está sobre a mediatriz de H_aM_a e é paralela a HH_a e
MM_a. Esta mediatriz intercepta HM no ponto O. ==> K_aO ==M_aO.

Ainda, como L_bN_a//BM_a, HL_bN_a ~ HBM_a, e a razão de semelhança é 1/2,
visto que HL_b/HB = 1/2.

Segue que L_bN_a = (1/2)*BM_a. Como M_a é ponto médio de BC e como L_bL_c =
(1/2)BC, vem que N_a é ponto médio de L_bL_c. Logo,N_aO tb é mediatriz de
L_bL_c, donde OL_b == OL_c.

Aplicando o procedimento acima para os três vértices, virá que OH_a == OM_a,
OH_b == OM_b, OH_c == OM_c e OL_a == OL_b == OL_c.

Observe que OH == OM, pois ON_x//MM_x e HN_x = (1/2)*HM_x para qualquer
vértice X. A semelhança dos triângulos HON_x e HMM_x nos dá OH/HM = 1/2,
logo OH == OM.

Bem, se provarmos que OL_x ==OM_x para todo X, todas as congruências serão
unificadas e portanto a cirfunferência com centro em O e raio OM_x será a
circunferência dos nove pontos.

Novamente, farei para A o que pode ser feito para qualquer vértice. Trace
L_aM_a. Seja L_aM_a inter HM = Z. L_aH // MM_a e ^L_aZH == ^MZM_a (op. pelo
vértice) ==> L_aHZ ~ MZM_a ==> L_aZ/M_aZ = HZ/MZ = L_aH/MM_a. Queremos
mostrar que Z = O.

Sabemos que H, M e o baricentro G estão alinhados na reta de Euler (mais
abaixo eu provo isso). Ainda, 2*M_aG = AG (novamente, o que é feito para A
vale para todo vértice). Como AH // M_aM, tem-se AHG ~ MM_aG e a razão de
semelhança é 2.

Logo, AH = 2*MM_a. Como L_aH = AH/2, segue que L_aH = MM_a, ou seja,
L_aH/MM_a = 1. Mas isto implica L_aZ/M_aZ = HZ/MZ = 1, o que ocorre somente
se Z for o ponto médio de HM, isto é, Z = O, e acabamos!

Pode-se mostrar também que o raio da circunferência dos nove pontos mede
metade do raio da circunferência circunscrita, mas isso fica para outro
dia...

Agora, a reta de Euler: fiquei devendo isso na demonstração. Ok, temos o
triângulo ABC, a mediana CM (M em AB) que contém o baricentro G (CG = 2*GM;
isto é fácil de mostrar) e a circunferência circunscrita com centro O. Na
reta que passa por G e O, tome H tal que G esteja entre H e O e HG = 2*GO.
Como também se cumpre que CG=2*GM e ^HGC = ^OGM, tem-se CGH ~MGO, e logo
temos CH // MO. Mas MO é um segmento da mediatriz relativa a AB, sendo
perpendicular a este. Logo, CH é segmento da altura relativa a este mesmo
lado.

Como H é determinado por G e o ponto médio de um lado, podemos deduzir AH e
BH, bem como que as três alturas se interceptam num único ponto H, sendo H,
G e O alinhados na assim chamada reta de Euler. UFA!!

Edward Elric (edwardelric666@hotmail.com) escreveu:
>
>To com grande problemas nos seguintes exercicios:
>
>(CÍRCULO DOS 9 PONTOS) Dado um triângulo ABC, mostre que os pés das 3
>alturas, os pontos médios dos lados e os pontos médios dos segmentos que
>unem o ortocentro a cada um dos vértices pertencem a um mesmo círculo.
>
>
>O circuncentro, o baricentro, o ortocentro e o centro do círculo dos 9
>pontos de um triângulo são sempre colineares.
>
>
>
>Eu tentei por geometria analitica mas nao ficou viavel...
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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