RE: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial)

Questao 1:

Faca a expansao de f(t) em serie de Taylor em torno de t=0,

f(t) = f(0) + f’(0)t + f’’(0)t^2/2! + ……

Note que a partir do enunciado temos <f’(t),v>=0 o que implica (derivando em relacao a t e usando o fato que v e um vetor fixo de R^3) <f’’(t),v>=0, <f’’’(t),v>=0,…,etc, para todo t em J. Aplicando o produto interno em ambos os lados da equacao acima,

<f(t),v> = <f(0),v> + t<f’(0),v> + t^2/2! (<f”(0),v>) + …… = 0.

Portanto f(t) e ortogonal a v para todo t em J.

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Lista OBM
Sent: Thursday, September 30, 2004 3:40 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial)

De fato a parte final da questão estah com o enunciado errado. Trocar "Prove que f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J." por "Prove que f(t) é ortogonal a v para todo t em J."

Grato desde já, Éder.

1) Sejam f: J --> R^3 uma curva parametrizada e v um vetor fixado de em R^3. Suponha que v é ortogonal a f´(t) e a f(0) para todo t em J. Prove qe f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J.

2) Seja f: J --> R^3 uma curva parametrizada, com f´(t)<>0 para todo t em J. Prove que | f(t) | = cte não nula <=> f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J.

Grato desdes já, Éder Lopes da Silva.

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