[obm-l] Re: [obm-l] ENIGMA GEOM�TRICO!

["Rafael" <overcunning@xxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: <jorgeluis@edu.unifor.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, September 24, 2004 9:51 PM
Subject: [obm-l] ENIGMA GEOM�TRICO!


> Ol�, Pessoal!
>
> Num icosaedro regular, cada v�rtice est� ligado a 5 outros v�rtices
> formando uma pir�mide pentagonal. Qual a altura dessa pir�mide?
>

Vou tomar o comprimento das arestas do icosaedro como unit�rio. O raio da
circunfer�ncia circunscrita ao pol�gono da base pode ser obtido pela lei dos
cossenos: 1^2 = 2R^2 [1 - cos(2pi/5)]

O valor de cos(2pi/5) � f�cil de ser calculado e vale [sqrt(5) - 1]/4.
Substituindo e simplificando, voc� obter�:

R = sqrt[50 + 10sqrt(5)]/10

Por Pit�goras, a altura mede H = sqrt(1 - R^2) = sqrt[50 - 10sqrt(5)]/10.


>
> A prop�sito, qual a raz�o de serem apenas cinco os poliedros regulares?
>

Eu imagino que voc� esteja se referindo aos poliedros de Plat�o. De acordo
com a defini��o moderna, h� nove poliedros regulares: cinco s�o os poliedros
de Plat�o (convexos, a saber: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro) e quatro s�o os poliedros de Kepler-Poinsot (estrelados, a saber:
dodecaedro grande, icosaedro grande, dodecaedro grande estrelado, dodecaedro
pequeno estrelado).

Acho que os quatro �ltimos n�o s�o t�o conhecidos assim, h� ilustra��es
deles aqui:  http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html


>
> Afinal! Qual � mesmo a defini��o de poligono convexo? E de poliedro?
>

Um pol�gono � convexo se ele cont�m todos os segmentos de reta obtidos da
liga��o de quaisquer dois pontos que a ele perten�am. E um poliedro � um
s�lido tridimensional formado por v�rios pol�gonos, normalmente ligados uns
aos outros por suas arestas.


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================