[obm-l] ponto de Hurwitz (era: Problemas IME)

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Alguém pode falar alguma coisa sobre
(esse) Hurwitz (biografia) e sobre o
ponto de Hurwitz (aparece aonde, importância,
etc) ?

[]'s
Luís

-----Mensagem Original----- 
De: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quarta-feira, 22 de setembro de 2004 14:01
Assunto: Re: [obm-l] Problemas IME


> On Tue, Sep 21, 2004 at 08:32:14PM +0000, Edward Elric wrote:
> > (IME 80/81)
> > Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que
o
> > ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo
> > numero natural n, h^n e diferente de 1.
> > Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz.
> >
>
> Eu fiz esta prova como aluno. A segunda já responderam. Vou fazer a
primeira.
>
> Temos z = (2-i)^2/5 = (3+4i)/5. Escreva z^n = (a_n + b_n i)/5^n. Assim
> a_1 = 3, b_1 = 4, a_{n+1} = 3 a_n - 4 b_n, b_{n+1} = 4 a_n + 3 b_n.
> Por indução, é fácil provar que a_n = 3 (mod 5) e b_n = 4 (mod 5)
> para todo n. De fato, para n = 1 é trivial e se isto valer para n temos
> a_{n+1} = 3*3 - 4*4 = 3 (mod 5), b_{n+1} = 4*3 + 3*4 = 4 (mod 5).
> Assim a parte imaginária de z^n não é igual a 0 para nenhum inteiro
> positivo n.
>
> []s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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