Re: [obm-l] Problemas IME

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As
outras parecem mais trabalhosas.

Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a
formula das somas dos termos de uma PG mostra que as
raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos
da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que
P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de
Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo
que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh
portanto raiz de P, o que implica automaticamente que
P divide Q. 

Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB -
BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 <>1 = Tr(I). Logo, AB - BA
<>I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B.

Artur



--- Edward Elric <edwardelric666@hotmail.com> wrote:

> Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas:
> 
> (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 +
> x^888 + x^777 + ... x^111 +1 
> é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1.
> 
> (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as
> raízes cúbicas da unidade no 
> plano complexo(considere w(1) o número complexo de
> módulo 1 e argumento 
> 2pi/3).
> Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R
> em torno do ponto c e 
> amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc ,
> para todo z pertencente 
> aos complexos, menos o ponto c. pede-se:
> 
> (a) Determinar as relações existentes entre
> a,b,c,j,j² onde a,b pertencem 
> aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja
> equilátero.
> 
> (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja
> equilátero.
> Dado: i = (-1)^1/2
> 
> 
> (IME 80/81)
> Seja C o conjunto dos numeros complexos e h
> pertencente a C. Diz-se que o 
> ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e
> igual a 1, e, para todo 
> numero natural n, h^n e diferente de 1.
> Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de
> Hurwitz.
> 
> (IME 80/81)
> Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B,
> quem verifiquem AB-BA = I, 
> onde I e a matriz identidade de uma ordem n
> qualquer.
> 
> Flw pessoal.
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