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De:
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Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
<obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: RES: RES: RES: [obm-l] Funcoes
complexas
Data: 09/09/04 22:13
Há
uma passagem que precisa ser mais detalhada.
Seja p um ponto de D e U uma
vizinhança de p em D tal que g se anula em U.
Considere z um outro ponto
de D, diferente de p. Queremos mostrar que sendo
g analítica em D, então
g(z)=0. Sabemos que a série de Taylor em torno de p
converge numa bolinha
centrada em p, que não obrigatoriamente contem z.
Logo, não podemos daí
concluir que g(z)=0.
Considere uma curva contida em D e que liga os
pontos p e z. (lembre-se que
aberto e conexo em R^2 implica conexo por
caminhos).
O raio de convergência da série de Taylor de g em torno de
cada ponto da
curva é maior que k, para algum k>0 pois a curva é
compacta e o raio de
convergência é uma função contínua em D. Considere
uma cobertura finita da
curva por bolinhas abertas de raio k/3 centradas
em pontos da curva. Como
g=0 na bolinha centrada em p, concluímos que g=0
em todas estas bolinhas e,
em particular, g(z)=0. Logo g=0 em
D.
Há um teorema que eu acho mais interessante para aplicar no seu
problema:
Seja U um aberto e conexo e g:U->C uma função analítica.
Se a função
|g|:U->[0,+infinito) possui um máximo local, então g é
constante.
Isso implica que se há um aberto contido em U onde a
função é constante,
então a função é constante em todo o seu
domínio.
Se o domínio de g não é conexo, então com certeza é
impossível ter o mesmo
resultado. Basta pegar duas bolas abertas
disjuntas em C e definir f igual a
zero na primeira e 1 na segunda.
Defina g sendo 1 na primeira bola e 0 na
segunda. Então f.g=0 e nenhuma
delas é identicamente nula.
Abraço. Pedro.
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome
de Artur Costa
Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 12:44 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re:
RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado. Quero ver se peguei a
ideia, me corrija, por favor, se eu
estiver errado.
A funcao g se
anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que
acabou sendo
uma consequencia do fato de que analiticidade implica
continuidade).
Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamente
nulas em
U.
Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar
g(z) em
série de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se
anulam em
p, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D.
A exigencia
de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que para
todo z de D
possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum p
de D.
Certo?
Artur
--------- Mensagem Original --------
De:
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Assunto: RES: RES:
[obm-l] Funcoes complexas
Data: 09/09/04 11:55
Vale para todo
aberto e conexo.
Abraço. Pedro.
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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de Artur Costa
Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re:
RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado pela contribuicao, a vc e ao
Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto
de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo,
certo?
Artur
--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para:
"obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: RES: [obm-l]
Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34
Se g é diferente de zero em
algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D
contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero
em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.
Os
contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem
contruídos.
Abraço. Pedro.
-----Mensagem original-----
De:
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Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto:
[obm-l] Funcoes complexas
Eu estou tentando provar a seguinte
proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui.
Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.
Sejam f e g funcoes
complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
<1}. Se f*g for
identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0.
Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato
essencial para a conclusao.
Tentei desenvolver f e g em series de
Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao
citada.
Abracos
Artur
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