RE: [obm-l] compactos

["Leandro Lacorte Recova" <leandrorecova@xxxxxxx>]

Nao vou dar detalhes, mas so uma ideia de como pode ser feito. Vou assumir
que A e B sao subconjuntos de R^{n}. Se voce quiser fazer pra qualquer
espaco metrico, tente adaptar a notacao. 


AxB e fechado: Sugestao=>

Acho que se voce usar as funcoes de projecao de f: AxB -> A e g: AxB-> B e
usando o fato de que elas sao continuas, e o teorema: 

"Seja W um subconjunto fechado de A. Entao, f: AxB->A  e uma funcao continua
se e somente se a imagem inversa de W e fechado."  Chame a imagem inverse de
W de f^(-1)(W).


"Seja W um subconjunto fechado de B. Entao, g: AxB->B  e uma funcao continua
se e somente se a imagem inversa de W e fechado."  Chame a imagem inversa de
W de g^(-1)(W).


Observe que f^(-1)(W) U g^(-1)(W) = AxB e lembre que a uniao de fechados e
fechado. Portanto, AxB e fechado. 


Depois, resta mostrar que AxB e limitado. Tome z=(x,y) um ponto de AxB.
Entao, devemos mostrar que existe uma constante c tal que 

|z| <=  c para todo z em AxB. 

Para isso, podemos usar a norma da soma. Seja, x um ponto de A e y um ponto
de B. Como A e B sao compactos, portanto limitados, temos que existem
constantes c1 e c2 tais que: 

|x| <= c1  (Norma da soma: x=(x1,x2,...,xn) => |x|=|x1| + |x2| + .. + |xn|)

|y| <= c2 	(Norma da Soma : y=(y1,y2,...,yn) => |y| = |y1| + ... +
|yn|)


Portanto, |z|=|(x,y)| = |x| + |y| <= c1 +c2 = c, onde usei a norma da Soma
em A , B e AxB.  

Se tiver algum erro, podem me corrigir. Eu nem fiz nada no papel porque
estou num restaurante agora e escrevi meio rapido. 

Regards,

Leandro
Los Angeles, CA. 


-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of eritotutor
Sent: Thursday, September 09, 2004 10:12 AM
To: obm-l
Subject: [obm-l] compactos

Boa tarde, 

Gostaria, por favor, da soluçao do seguinte:

Prove que o produto cartesiano de dois conjuntos 
compactos eh compacto.

Obrigado


 
__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================